2.3 钢筋混凝土受弯构件正截面承载力计算

2.3.1 受弯构件正截面承载力计算的基本假定

1.基本假定

正截面承载力计算的基本假定包括：

（1）截面应变保持平面。

（2）不考虑混凝土的抗拉强度。

（3）混凝土受压的应力-应变关系已知。

目前我国现行《混凝土结构设计规范》所采用的钢筋、混凝土应力-应变关系如图2.3-1、图2.3-2所示。

图2.3-1 钢筋应力-应变曲线

图2.3-2 混凝土应力-应变曲线

钢筋应力-应变关系采用理想的弹塑性本构关系，σ_s＜f_y时是弹性的，σ_s=f_y时是理想塑性的；混凝土的应力-应变曲线由两段组成。

当ε_c≤ε₀时

当ε₀＜ε_c≤ε_cuσ_c=f_c

式中 σ_c——混凝土压应变为ε_c时的混凝土压应力；

f_c——混凝土轴心抗压强度设计值；

ε₀——混凝土压应力达到f_c时的混凝土压应变，ε₀=0.002+0.5（f_cu，k-50）×10^-5，当计算的ε₀值小于0.002时，取为0.002；

ε_cu——正截面的混凝土极限压应变，当处于非均匀受压时，ε_cu=0.0033-（f_cu，k-50）×10^-5，如计算的ε_cu值大于0.0033，取为0.0033；当处于轴心受压时取为ε₀；

f_cu，k——混凝土立方体抗压强度标准值；

n——系数， ，当计算的n值大于2.0时，取为2.0。

2.适筋梁与超筋梁的分界

适筋梁与超筋梁的分界可用两种方式表达，即：ρ=ρ_b或ξ=ξ_b。

（1）相对界限受压区高度ξ_b。适筋梁与超筋梁的分界如图2.3-3中的界限破坏所示，即梁受拉钢筋屈服的同时受压区混凝土达到极限压应变。设钢筋屈服时的应变为ε_y，则 。

设界限破坏时中和轴高度为x_0b，则根据平截面假定可得：

令x_b为界限破坏时等效矩形应力图形上的受压区高度， 代入上式可得：

图2.3-3 适筋梁、超筋梁、界限配筋梁破坏时的正截面平均应变图

相对界限受压区高度 ，代入上式可得：

式中 f_y——钢筋抗拉强度设计值；

E_s——钢筋弹性模量；

ε_cu——非均匀受压时的混凝土极限压应变，混凝土强度等级小于等于C50时ε_cu=0.0033，大于C50时ε_cu=0.0033-（f_cu，k-50）×10^-5；

β₁——与混凝土强度相关的系数，当混凝土强度等级小于等于C50时β₁=0.8，C80时β₁=0.74，其间按线性内插法确定。

为便于设计，表2.3-1给出了相对界限受压区高度ξ_b的取值。

表2.3-1 相对界限受压区高度ξ_b取值

对于无明显屈服点的钢筋，钢筋的屈服应变由名义屈服应变代替（应考虑残余应变0.002的影响），即

（2）界限配筋率ρ_b。界限配筋率即为适筋梁的最大配筋率，当ξ=ξ_b时所对应的配筋率ρ_b就是界限配筋率。ρ_b可以由图2.3-4力的平衡关系得出：

α₁f_cbx_b=A_sf_y=ρ_bbh₀f_y

所以

如果去掉脚标b就可得出适筋梁配筋率ρ与相对受压区高度的关系即 。式中α₁的取值与混凝土强度等级有关，当混凝土强度等级不超过C50时，取α₁=1.0；当混凝土强度等级为C80时，取α₁=0.94，其间按线性内插法确定。

图2.3-4 界限破坏时的应力图

2.3.2 单筋矩形截面正截面受弯承载力计算

1.基本公式及适用条件

（1）基本公式。单筋矩形截面正截面受弯承载力计算简图如图2.3-5所示。由力的平衡关系可得：

α₁f_cbx=A_sf_y （2.3-5）

由力矩平衡可得：

（2）适用条件

ξ≤ξ_b

或

《混凝土结构设计规范》（GB 50010—2010）规定ρ_min应取0.2%和45 中的较大值。

图2.3-5 单筋矩形截面正截面受弯承载力计算简图

经济配筋率的范围为：

板 ρ=0.4%～0.8%

矩形梁 ρ=0.6%～1.5%

T形梁 ρ=0.9%～1.8%（相对于腹板）。

2.单筋矩形截面配筋设计

根据式（2.3-5）、式（2.3-6）或式（2.3-7）就可以进行截面配筋设计。为了设计方便，式（2.3-6）、式（2.3-7）可写成：

M=A_sf_yh₀ （1-0.5ξ）

令 α_s=ξ（1-0.5ξ） （2.3-8）

γ_s=1-0.5ξ （2.3-9）

则 M=α₁α_sf_cbh²₀ （2.3-10）

或 M=A_sf_yγ_sh₀ （2.3-11）

截面配筋设计时经常遇到以下两种情况：

（1）已知M、b、h、f_c、f_y、…，求A_s

解：①计算

②计算ξ

由式（2.3-8）可得 ，应不大于ξ_b

③计算配筋率ρ ，应满足

④计算A_s

A_s=ρbh₀

⑤绘制配筋图

设计时应尽量使受弯构件的配筋率落在经济配筋率范围之内，如按（4）计算的ρ值与经济配筋率相差较大也可重新选择b、h重复（1）～（4）。

（2）已知M、b、f_c、f_y、…，求A_s

解：①先假定ρ，使ρ落在经济配筋率范围之内。

②根据配筋率ρ与ξ的关系求ξ

③计算α_s

α_s=ξ（1-0.5ξ）

④由式（2.3-10）求h₀

⑤计算h

h=h₀+a_s

计算出的h取整后（宜符合模数），变为已知b、h求A_s的情况。当实际取的h值大于由第5步计算的h值时也可不必重新计算而直接取A_s=ρbh₀。

【例2.3-1】 一矩形截面简支梁b×h=200mm×500mm，计算跨度l=6m，承受均布活荷载标准值q_k=12kN/m，均布恒荷载标准值g_k=10kN/m（不含自重），结构安全等级为二级，试进行截面配筋设计。

解答：选C30级混凝土，f_c=14.3MPa；HRB400级钢筋，f_y=360MPa。结构安全等级为二级，γ₀=1.0。恒载分项系数γ_G=1.2；活载分项系数γ_Q=1.4。

梁自重标准值 g_k′=25×0.2×0.5×1kN/m=2.5kN/m（钢筋混凝土容重取25kN/m³）

简支梁跨中弯矩设计值：

，实配 ，A_s=1140mm²。

如图2.3-6所示。

【例2.3-2】 一矩形截面简支梁承受弯矩设计值M=230kN·m，采用C20级混凝土，fc=9.6MPa，HRB400级钢筋，f_y=360MPa。试确定梁截面尺寸及配筋。

解答：选b=250mm，假设ρ=1%

则

实取h=600mm。

因实际所取梁高与设计所取梁高相差很小，故不必按b×h=200mm×600mm重新计算A_s，而可直接取A_s=ρbh₀=1%×250×565mm²=1413mm²。实配3 25，A_s=1473mm²

如果实际选取梁高（宜符合模数）与计算梁高相差较大，则应按已知b、h的情况求A_s。

【例2.3-3】 已知一单跨简支板，板厚120mm，板上有30mm厚水泥砂浆找平层，板的计算跨度为4.2m，板上活荷载标准值q_k=2kN/m²，混凝土采用C30级，钢筋采用HPB300，试进行截面配筋。

解答：取板宽b=1000mm的板条作为计算单元。安全等级按二级考虑，γ₀=1.0

恒载分项系数γ_G=1.2；活载分项系数γ_Q=1.4

恒载标准值g_k=（1×1×0.12×25+1×1×0.03×20）kN/m=3.6kN/m

图2.3-6 配筋图

（钢筋混凝土容重取25kN/m³，砂浆容重取20kN/m³）

设计弯矩

A_s=ρbh₀=0.006×1000×100mm²=600mm²。实配 10@130，A_s=604mm²。构造筋选用 8@200，如图2.3-7所示。

图2.3-7 简支板配筋图

2.3.3 双筋矩形截面正截面受弯承载力计算

1.概述

一般情况下用钢筋承担压力是不经济的，但遇下列情况之一则可考虑使用双筋：

（1）截面所承受的弯矩较大，且截面的高度受到限制，此时若采用单筋则会出现超筋现象。

（2）同一截面在不同荷载组合下出现正、负号弯矩。

（3）压区配置受压钢筋可增加截面的延性，减小徐变，对抗震有利。

图2.3-8 双筋截面计算简图

2.基本公式及适用条件

双筋矩形截面受弯承载力的计算公式可以根据图2.3-8所示的计算简图由力和力矩的平衡条件得出：

式中 α_s=ξ（1-0.5ξ）

基本公式的适用条件是：

1.ξ≤ξ_b

该条件是避免超筋的条件，保证受拉区钢筋先屈服，然后混凝土被压碎。

2.x≥2a′_s

如不满足第二个条件，即x＜2a_s′，则假定受压区混凝土的合力C通过受压钢筋A_s′的重心，此时可以直接对A_s′取矩求出受拉钢筋A_s。

M=A_sf_y（h₀-a′_s）

所以

3.双筋截面配筋设计

在双筋截面的配筋设计时经常会碰到以下两种情况：

（1）已知M、b、h、f_c、f_y、f′_y

求 A_s、A_s′

解：①判断是否需要采用双筋

如 M＞α₁f_cξ_b（1-0.5ξ_b）bh²₀，则需采用双筋。

②充分利用混凝土受压

令ξ=ξ_b或x=ξ_bh₀，由式（2.3-13）求A_s′

③由式（2.3-12）求As

（2）已知M、b、h、f_c、f_y、f′_y、A′_s

求 A_s

解：①求α_s

由式（2.3-13）得

②求ξ、x

所求得的ξ值应小于等于ξ_b，不满足此要求，则可增加A′_s或增大截面尺寸（如允许的话）。

x=ξh₀，如果x≥2a_s′，由式（2.3-12），得

如果x＜2a_s′，由式（2.3-14），得

【例2.3-4】 已知矩形截面梁b×h=200mm×500mm，承受弯矩设计值M=260kN·m，混凝土采用C30，钢筋采用HRB400，ξ_b=0.518。试进行配筋设计。

解答：f_c=14.3MPa，f_y=360MPa，假定受拉钢筋为两排，则a_s=60mm，先按单筋计算。

由计算可知：如果采用单筋则会产生超筋现象，故应按双筋计算。

令ξ=ξ_b 由式（2.3-13）可得：

由式（2.3-12）得

实配受压筋为2 16 A_s′=402mm²

受拉筋为6 22（两排）A_s=2281mm²

【例2.3-5】 已知条件同【例2.3-4】，假定受压筋A_s′为2 20（A_s′=628mm²），求A_s

解答：由式（2.3-13）得：

由式（2.3-12）得：

实配受拉筋为4 25 A_s=1964mm²

比较【例2.3-4】和【例2.3-5】可以得出前者总钢筋用量为（326+2137）mm²=2463mm²，后者总钢筋用量为（628+1935）mm²=2563mm²。也就是说当充分利用混凝土承担压力，即令ξ=ξ_b（或x=ξ_bh₀）时总用钢量相对较少。

【例2.3-6】 某钢筋混凝土简支梁，安全等级为二级。梁截面250mm×600mm，混凝土强度等级C30，纵向受力钢筋均采用HRB400级钢筋，箍筋采用HPB300级钢筋，梁顶及梁底均配置纵向受力钢筋，a_s=a_s′=40mm。相对界限受压区高度ξ_b=0.518。

1.已知：梁顶面配置了2 16受力钢筋，梁底钢筋可按需要配置。试问，如充分考虑受压钢筋的作用，计算梁跨中可以承受的最大正弯矩设计值M。

解答：h₀=（600-40）mm=560mm ξ_b=0.518

当x=ξ_bh₀=0.518×560mm=290.1mm时，抗弯承载力设计值为最大。

按式（2.3-13）（《混凝土结构设计规范》（GB 50010—2010）式（6.2.10-1））：

M≤α₁f_cbx（h₀-x/2）+f_y′A_s′（h₀-a_s′）

=1×14.3×250×290.1×（560-290.1/2）+360×2×201×（560-40）

=506×10⁶N·mm=506kN·m

2.已知：梁底面配置了4 25受力钢筋，梁顶面钢筋可按需要配置。试问，如充分考虑受压钢筋的作用，计算此梁跨中可以承受的最大正弯矩设计值M。

解答：根据图2.3-8（《混凝土结构设计规范》（GB 50010—2010）图6.2.10），满足x≥2a_s′时，对受压钢筋合力点取矩，得到：

x=2a_s′时，M最大。

M=360×4×491×（600-40-40）N·mm=368×10⁶N·mm=368kN·m

2.3.4 T形截面正截面受弯承载力计算

1.T形、I形及倒L形截面受弯构件翼缘计算宽度b_f′的取值

T形、I形及倒L形截面受弯构件翼缘计算宽度b_f′的具体取值如表2.3-2所示。

表2.3-2 T形、I形及倒L形截面受弯构件翼缘计算宽度b_f′

注：1.表中b为腹板宽度。

2.肋形梁在梁跨内设有间距小于纵肋间距的横肋时，则可不考虑表中情况3的规定。

3.加腋的T形、I形和倒L形截面，当受压区加腋的高度h_h≥h′_f且加腋的宽度b_h≤3h_h时，其翼缘计算宽度可按表中情况3的规定分别增加2b_h（T形、I形截面）和b_h（倒L形截面）。

4.独立梁受压区的翼缘板在荷载作用下经验算沿纵肋方向可能产生裂缝时，其计算宽度应取腹板宽度b。

2.基本公式及适用条件

T形梁有两种类型，第一种类型为中和轴在翼缘内，即x≤h_f′；第二种类型为中和轴在梁肋内，即x＞h_f′。

（1）第一类T形（假T形） 第一类T形中和轴在翼缘内，x≤h_f′，此类T形与b_f′×h的矩形完全相同（如图2.3-9所示），基本计算公式与矩形截面完全相同，只是用b_f′代替矩形截面计算公式中的b。

基本计算公式为

图2.3-9 第一类T形截面

设计步骤为

（2）第二类T形（真T形） 第二类T形中和轴在梁肋内，x＞h_f′，如图2.3-10所示。此类T形的受弯承载力计算基本公式仍可由力的平衡和力矩平衡得出。

图2.3-10 第二类T形截面

基本计算公式为

ΣX=0 α₁f_cbx+α₁f_c（b′_f-b）h′_f=A_sf_y （2.3-17）

式（2.3-18）也可以写成

3.两类T形截面的判别方法

如何判断T形截面是属于第一类T形还是第二类T形，应根据设计和校核两种不同情况采用不同的方法。

（1）截面配筋设计时

当 ，即x≤h_f′时，为第一类T形，即假T形，按b′_f×h的矩形截面计算。

反之，当 ，即x＞h_f′时，为第二类T形，即真T形，按式（2.3-18）、式（2.3-19）计算。

（2）截面受弯承载力校核时

截面承载力校核时，A_s为已知。当A_sf_y≤α₁f_cb_f′h_f′时，即x≤h_f′，为第一类T形。

反之，当A_sf_y＞α₁f_cb_f′h_f′时，即x＞h′_f为第二类T形。

4.截面配筋设计

已知M、b_f′（根据表2.3-2选定）、h_f′、b、h、f_c、f_y，求A_s

解：（1）首先判定属于哪一类T形

如 时，则属于第一类T形，此时可按b_f′×h的矩形截面计算。

如 时，则属于第二类T形。

（2）第一、二类T形的配筋计算

①第一类T形 可按b_f′×h的矩形截面计算，其步骤如下：

②第二类T形

由式（2.3-19）求

由式（2.3-17）得：A

5.正截面承载力校核

正截面承载力校核应按如下步骤进行：

（1）先判断T形的类别。

（2）求混凝土受压区高度。

（3）求正截面承载力M_u。

（4）比较设计弯矩M与M_u的关系。

如M≤M_u 则证明满足承载力要求，反之则不满足承载力要求。

【例2.3-7】 已知一钢筋混凝土现浇楼盖，梁的计算跨度为6.6m，间距为3m，截面尺寸如图2.3-11所示，混凝土采用C20，钢筋采用HRB400，楼面可变荷载标准值为2kN/m²，求此梁的受拉钢筋面积A_s。

图 2.3-11

解答：1.荷载及内力计算

砂浆容重按20kN/m³计算，钢筋混凝土容重按25kN/m³计算。

30厚水泥砂浆 0.6kN/m2

80厚钢筋混凝土板 2kN/m²

15厚天棚灰 0.3kN/m²

楼面永久荷载总计Σ 2.9kN/m²

钢筋混凝土梁自重 0.25×（0.55-0.08）×1×25kN/m=2.94kN/m

楼面可变荷载 2kN/m²

永久荷载分项系数γ_G=1.2，可变荷载分项系数γ_Q=1.4

设计弯矩

2.确定翼缘计算宽度b_f′

由表2.3-2可知

按梁计算跨度考虑 ；

按梁净距s_n考虑 b′_f=b+s_n=3m；

按翼缘高度h_f′考虑 h_f′/h₀=80/515=0.155＞0.1，故b_f′不受此条件限制。

取上述b_f′小者，故b_f′=2.2m。

3.判断T形类别

C20混凝土f_c=9.6MPa；HRB400钢筋f_y=360MPa。

故属于第一类T形。

4.配筋计算

实配3 18，A_s=763mm²

【例2.3-8】 一T形截面简支梁，截面尺寸如图2.3-12所示，承受弯矩设计值M=260kN·m，混凝土采用C20，钢筋采用HRB400，求纵向受拉钢筋A_s。

解答：1.判断T形截面类型

故为第二类T形。

2.配筋计算

由式（2.3-19）

图 2.3-12

由式（2.3-17）

实配6 18 A_s=1526mm²

【例2.3-9】 已知T形截面尺寸同【例2.3-7】，梁下部配有两排受拉钢筋，受拉钢筋数量为6 22，该截面承受的设计弯矩为M=350kN·m，试校核该梁是否安全。

解答：1.判断T梁类型

A_sf_y=2281×360N=821160N＞α₁f_cb′_fh′_f=1.0×9.6×500×100N=480000N

故属于第二类T形。

2.求M_u

由式（2.3-17）得

由式（2.3-18）得

3.结论

M=350kN·m＜M_u=361.0kN·m安全（指正截面承载力）