常微分方程（高等学校教材）

第一章 初等积分法 1
1．1 微分方程和解 1
1．1．1 微分方程 1
1．1．2 通解与特解 4
1．1．3 初值问题 5
1．1．4 积分曲线 7
1．1．5 初等积分法 8
习题1．1 8
1．2 变量可分离方程 9
1．2．1 显式变量可分离方程的解法 9
1．2．2 微分形式变量可分离方程的解法 13
习题1．2 14
1．3 齐次方程 15
1．3．1 齐次方程的解法 15
1．3．2 第二类可化为变量可分离的方程 18
习题1．3 22
1．4 一阶线性微分方程 22
1．4．1 一阶线性非齐次方程的通解 23
1．4．2 伯努利（Bernoulli）方程 27
习题1．4 28
1．5 全微分方程及积分因子 29
1．5．1 全微分方程 29
1．5．2 积分因子 35
习题1．5 38
1．6 一阶隐式微分方程 39
习题1．6 46
1．7 几种可降阶的高阶方程 46
1．7．1 第一种可降阶的高阶方程 46
1．7．2 第二种可降阶的高阶方程 47
1．7．3 恰当导数方程 48
习题1．7 49
1．8 一阶微分方程应用举例 50
1．8．1 等角轨线 50
1．8．2 动力学问题 54
1．8．3 电学问题 56
1．8．4 光学问题 57
1．8．5 流体混合问题 59
习题1．8 61
*1．9 变分法简介 62
1．9．1 泛函和极值问题 62
1．9．2 欧拉方程 65
1．9．3 欧拉方程的降阶法 67
1．9．4 泛函的极值 68
习题1．9 70
第二章 基本定理 71
2．1 常微分方程的几何解释 71
2．1．1 线素场 71
2．1．2 欧拉折线 75
2．1．3 初值问题解的存在性 77
习题2．1 77
2．2 解的存在唯一性定理 78
2．2．1 存在性与唯一性定理的叙述 78
2．2．2 存在性的证明 81
2．2．3 唯一性的证明 86
2．2．4 两点说明 87
习题2．2 90
2．3 解的延展 91
2．3．1 延展解、不可延展解的定义 91
2．3．2 不可延展解的存在性 92
2．3．3 不可延展解的性质 93
2．3．4 比较定理 98
习题2．3 100
2．4 奇解与包络 101
2．4．1 奇解 101
2．4．2 不存在奇解的判别法 103
2．4．3 包络线及奇解的求法 103
习题2．4 109
2．5 解对初值的连续依赖性和解对初值的可微性 109
习题2．5 115
第三章 一阶线性微分方程组 116
3．1 一阶微分方程组 116
习题3．1 121
3．2 一阶线性微分方程组的一般概念 122
习题3．2 124
3．3 一阶线性齐次方程组的一般理论 124
习题3．3 133
3．4 一阶线性非齐次方程组的一般理论 134
3．4．1 通解结构 134
3．4．2 常数变易法 135
习题3．4 137
3．5 常系数线性微分方程组的解法 138
3．5．1 矩阵A的特征根均是单根的情形 139
3．5．2 矩阵A的特征根有重根的情形 146
*3．5．3 常系数线性齐次方程组的稳定性 156
3．5．4 常系数线性非齐次方程组的求解 157
习题3．5 159
 *3．6 指数矩阵简介 161
习题3．6 163
第四章 n阶线性微分方程 164
4．1 n阶线性微分方程的一般理论 164
4．1．1 线性微分方程的一般概念 164
4．1．2 n阶线性齐次微分方程的一般理论 170
4．1．3 n阶线性非齐次微分方程的一般理论 175
习题4．1 177
4．2 n阶常系数线性齐次方程解法 178
4．2．1 特征根都是单根 179
4．2．2 特征根有重根 182
习题4．2 188
4．3 n阶常系数线性非齐次方程解法 188

4．3．1 第一类型非齐次方程特解的待定系数解法 189
4．3．2 第二类型非齐次方程特解的待定系数解法 195
习题4．3 200
4．4 二阶常系数线性方程与振动现象 200
4．4．1 简谐振动——无阻尼自由振动 201
4．4．2 阻尼自由振动 202
4．4．3 阻尼强迫振动 205
习题4．4 208
4．5 拉普拉斯变换 209
4．5．1 拉普拉斯变换的定义和性质 209
4．5．2 用拉普拉斯变换求解初值问题 213
习题4．5 218
4．6 幂级数解法大意 218
习题4．6 223
第五章 定性和稳定性理论简介 224
5．1 稳定性概念 224
5．2 李雅普诺夫第二方法 229
习题5．2 234
5．3 平面自治系统的基本概念 235
5．3．1 相平面、相轨线与相图 235
5．3．2 平面自治系统的三个基本性质 237
5．3．3 常点、奇点与闭轨 239
习题5．3 241
5．4 平面定性理论简介 241
5．4．1 线性系统初等奇点附近的轨线分布 241
5．4．2 平面非线性自治系统奇点附近的轨线分布 255
5．4．3 极限环的概念 257
5．4．4 极限环的存在性和不存在性 261
习题5．4 263
第六章 一阶偏微分方程初步 265
6．1 基本概念 265
6．2 一阶常微分方程组的首次积分 269
6．2．1 首次积分 269
6．2．2 人造地球卫星运行轨道 276
习题6．2 280
6．3 一阶线性齐次偏微分方程 281
习题6．3 293
6．4 一阶拟线性非齐次偏微分方程 294
习题6．4 298
参考文献 300