微分方程的数值解法与程序实现

目 录 第一章 预备知识 1第一节 微分方程的相关概念与分类 1一、微分方程的相关概念 1二、微分方程的分类 2第二节 数值分析的工具 3本章要求及小结 6习题一 6第二章 常微分方程的数值解法 7第一节 欧拉（Euler）方法 8一、欧拉方法 8二、梯形方法 9三、改进的欧拉方法 11第二节 误差分析的相关概念 12一、局部截断误差与相容性 12二、稳定性 13三、收敛性 14四、收敛阶的数值意义 15第三节 龙格-库塔（Runge-Kutta） 方法 15一、泰勒级数方法 16二、龙格-库塔方法 17第四节 线性多步法 20一、线性多步法 21二、阿当姆斯方法 24三、预估—校正方法 26第五节 一阶方程组及高阶方程初值问题 的解法 27一、一阶方程组初值问题的解法 27二、高阶方程初值问题的解法 29第六节 两点边值问题的解法 30一、打靶法求解两点狄利克莱边值 问题 30二、打靶法求解两点混合边值问题 32三、差分法求解两点狄利克莱边值 问题 33四、差分法求解两点混合边值问题 36第七节 高精度算法 39一、理查德森（Richardson）外推法 39二、紧差分方法 42本章参考文献 43本章要求及小结 43习题二 44第三章 抛物型偏微分方程的有限差分法 46第一节 向前欧拉方法 46一、向前欧拉格式 46二、向前欧拉格式解的存在唯一性、 稳定性和收敛性分析 48三、数值算例 52第二节 向后欧拉方法 55一、向后欧拉格式 55二、向后欧拉格式解的存在唯一性、 稳定性和收敛性分析 57三、数值算例 57第三节 Crank-Nicolson方法 60一、理查德森差分格式 61二、Crank-Nicolson差分格式 65三、Crank-Nicolson格式解的存在唯一性、 稳定性和收敛性分析 67四、数值算例 68第四节 高精度算法 69一、理查德森外推法 70二、紧差分方法 76第五节 混合边界条件下的差分方法 80一、几种差分格式的建立 81二、差分格式稳定性的讨论 84三、数值算例 87第六节 二维抛物型方程的交替方向隐 格式 89一、向前欧拉格式 90二、Crank-Nicolson格式 91三、交替方向隐（ADI）格式 94四、关于添加辅助项的说明 97五、数值算例 100第七节 二维抛物型方程的紧交替方向 隐式方法 101一、二维紧差分格式 101二、紧交替方向隐格式 103三、紧ADI格式的收敛性分析 105四、数值算例 105本章参考文献 106本章要求及小结 107习题三 107第四章 双曲型偏微分方程的有限差分法 110第一节 一阶双曲型方程的若干差分 方法 110一、精确解所具有的波的传播性质及 对初值的局部依赖性 110二、迎风格式 111三、一个完全不稳定的差分格式 113四、蛙跳（Leapfrog）格式 113五、Lax-Friedrichs 格式 115六、Lax-Wendroff格式 116七、Beam-Warming格式 116八、隐格式的设计 117九、Courant-Friedrichs-Lewy条件 118十、数值算例 119十一、推广 120第二节 二阶双曲型方程的显式差分法 122一、三层显差分格式的建立 122二、显格式的稳定性、收敛性分析 123三、改进的三层显格式 126四、数值算例 127第三节 二阶双曲型方程的隐式差 分法 128一、隐差分格式的建立 128二、隐格式的稳定性、收敛性分析 130三、数值算例 131第四节 二阶双曲型方程的紧差分 方法 131一、紧差分格式的建立 131二、紧差分格式的稳定性、收敛性 分析 133三、数值算例 135第五节 二维双曲型方程的交替方向 隐格式 135一、显差分格式 135二、交替方向隐格式 137三、交替方向隐格式的稳定性、收敛性 分析 140四、二维抛物型方程交替方向隐格式的 稳定性 142五、数值算例 142第六节 二维双曲型方程的紧交替方向 隐式方法 143一、二维紧差分格式 143二、紧交替方向隐格式 145三、紧交替方向隐格式的稳定性、 收敛性分析 146四、二维抛物型方程紧交替方向隐格式 的稳定性 148五、数值算例 148本章参考文献 149本章要求及小结 150习题四 150第五章 椭圆型偏微分方程的有限差分法 155第一节 五点菱形差分方法 155一、五点菱形格式 155二、五点菱形格式的收敛性分析 159三、数值算例 162第二节 九点紧差分方法 162一、九点紧差分格式 163二、九点紧差分格式的收敛性分析 165三、数值算例 170第三节 混合边界条件下的差分方法 170一、二阶差分格式 171二、差分格式的收敛性分析 176三、数值算例 176本章参考文献 177本章要求及小结 177习题五 177第六章 有限元法简介 182第一节 一个引例 182一、常微分方程两点边值问题的等价 形式 182二、模型问题的有限元法 184三、有限元法的编程 185四、有限元法的收敛性分析 188五、数值算例 189第二节 变分原理与弱解 190一、原问题的等价变分形式 191二、Lax-Milgram定理 192第三节 有限元空间的构造 194一、对区域 ? 的剖分 194二、三角形一次元 194三、一次元的基函数与面积坐标 195四、三角形二次元及其基函数 196第四节 有限元法的实现 198一、单元刚度矩阵及单元荷载 198二、总刚度矩阵和总荷载的合成 199三、边界条件的处理 200四、数值算例 200第五节 抛物型方程初边值问题的有限 元方法 201一、原方程的变分形式 201二、用有限元法进行空间半离散 202三、用差分法进行时间全离散 203四、相关量的数值计算 203五、编程时的一些说明 204六、数值算例 204本章参考文献 205本章要求及小结 205习题六 205附录A 二阶线性偏微分方程的变换与分类 207附录B 四阶龙格－库塔方法的推导 212附录C 解线性方程组的迭代法 217