计算方法及其应用

目录

第1章 绪论 1

§1.1计算方法的对象、 作用与特点1

§1.2数值计算的误差2

1.2.1误差的来源2

1.2.2误差的基本概念3

§1.3有效数字4

1.3.1有效数字的定义4

1.3.2有效数字与相对误差的关系5

§1.4误差定性分析与避免误差伤害6

1.4.1数值稳定算法7

1.4.2病态问题与良态问题9

1.4.3减少误差的若干原则10

§1.5向量和矩阵的范数11

1.5.1向量范数11

1.5.2矩阵范数12

习题14

第2章插值与拟合 16

§2.1拉格朗日插值17

2.1.1插值多项式的存在唯一性17

2.1.2拉格朗日插值方法的构造17

2.1.3n次拉格朗日插值多项式19

2.1.4误差估计20

2.1.5上机程序22

2.1.6算法评价23

§2.2牛顿插值23

2.2.1多项式的逐次生成23

2.2.2差商及其性质24

2.2.3牛顿插值多项式25

2.2.4上机程序27

2.2.5算法评价28

§2.3埃尔米特插值28

2.3.1三次埃尔米特插值多项式29

2.3.22n+1次埃尔米特插值多项式29

2.3.3误差估计31

2.3.4上机程序32

2.3.5算法评价33

§2.4分段插值33

2.4.1龙格现象33

2.4.2分段线性插值及误差估计34

2.4.3上机程序36

2.4.4算法评价36

§2.5样条插值36

2.5.1三次样条插值的M关系式（三弯矩方程）37

2.5.2三次样条函数的m关系式（三转角方程）39

2.5.3样条插值函数误差估计式41

§2.6曲线拟合的最小二乘法41

2.6.1最小二乘法41

2.6.2多项式拟合42

2.6.3非线性拟合43

§2.7数值实验45

2.7.1实验目的45

2.7.2实验内容与要求45

2.7.3实验题目48

习题48

第3章数值积分和数值微分50

§3.1插值型求积公式51

3.1.1插值型求积公式的构造51

3.1.2求积余项和代数精度51

§3.2牛顿-柯特斯积分53

3.2.1梯形积分53

3.2.2辛普森积分54

3.2.3牛顿-柯特斯积分系数55

§3.3复化求积公式57

3.3.1复化梯形积分57

3.3.2复化辛普森积分58

3.3.3复合积分的自动控制误差方法60

3.3.4上机程序61

§3.4高斯求积公式62

3.4.1一点高斯公式62

3.4.2二点高斯公式62

3.4.3n点高斯公式63

§3.5数值微分65

3.5.1差商与数值微分65

3.5.2插值型数值微分66

3.5.3样条插值数值微分公式68

3.5.4上机程序68

§3.6上机实验69

3.6.1实验目的69

3.6.2实验内容与要求69

3.6.3实验题目70

习题71

第4章非线性方程的数值解法73

§4.1引言73

§4.2对分法73

4.2.1对分法的数学依据和算法简述73

4.2.2上机程序74

4.2.3算法评价75

§4.3迭代法及其收敛性75

4.3.1不动点迭代格式75

4.3.2不动点迭代格式的收敛性定理77

4.3.3局部收敛性79

4.3.4收敛阶79

§4.4牛顿法80

4.4.1牛顿迭代公式的构造81

4.4.2牛顿法的几何意义81

4.4.3牛顿法的收敛性81

4.4.4上机程序82

4.4.5算法评价83

§4.5弦截法83

4.5.1弦截法迭代格式83

4.5.2弦截法的几何意义84

4.5.3弦截法的收敛性84

4.5.4上机程序85

4.5.5算法评价85

§4.6非线性方程组的牛顿法86

4.6.1二阶非线性方程组的牛顿方法86

4.6.2高阶非线性方程组的牛顿方法87

§4.7上机实验89

4.7.1实验目的89

4.7.2实验内容与要求89

4.7.3实验题目91

习题91

第5章解线性方程组的直接法92

§5.1引言92

§5.2消元法93

5.2.1三角形方程组的解93

5.2.2高斯消去法93

§5.3直接分解法99

5.3.1杜利特尔分解99

5.3.2追赶法101

5.3.3平方根法102

§5.4直接法的舍入误差分析105

§5.5上机实验108

5.5.1实验目的108

5.5.2实验内容与要求108

5.5.3实验题目108

习题109

第6章解线性方程组的迭代法110

§6.1引言110

§6.2迭代法的一般理论110

6.2.1迭代格式的构造110

6.2.2迭代法的收敛性和误差估计111

§6.3雅可比迭代法113

6.3.1雅可比迭代法的构造113

6.3.2雅可比迭代法的收敛条件113

6.3.3雅可比迭代法的误差估计115

6.3.4上机程序116

§6.4高斯-塞德尔迭代法117

6.4.1高斯-塞德尔迭代法的构造117

6.4.2高斯-塞德尔迭代法的收敛条件118

6.4.3上机程序119

§6.5超松弛迭代法120

6.5.1超松弛迭代法迭代格式的构造120

6.5.2超松弛迭代法的收敛条件120

6.5.3上机程序122

§6.6上机实验123

6.6.1实验目的123

6.6.2实验内容与要求123

6.6.3实验题目123

习题123

第7章常微分方程的数值解法125

§7.1引言125

§7.2欧拉方法126

7.2.1显式欧拉公式126

7.2.2隐式欧拉公式126

7.2.3改进的欧拉公式127

7.2.4欧拉方法的误差估计129

7.2.5上机程序131

§7.3龙格-库塔方法131

7.3.1龙格-库塔方法的基本思想131

7.3.2二阶龙格-库塔公式132

7.3.3高阶龙格-库塔公式133

§7.4单步法的收敛性与稳定性133

7.4.1收敛性与相容性133

7.4.2稳定性134

§7.5线性多步方法137

7.5.1线性多步方法的基本思想137

7.5.2阿当姆斯外插公式及其误差138

7.5.3阿当姆斯内插公式139

§7.6一阶微分方程组和高阶微分方程的数值解法140

7.6.1一阶微分方程组的数值解法140

7.6.2高阶常微分方程141

7.6.3算法评价141

§7.7上机实验142

7.7.1实验目的142

7.7.2实验内容与要求142

7.7.3实验题目144

习题144

第8章矩阵的特征值和特征向量的计算146

§8.1引言146

§8.2幂法与反幂法146

8.2.1幂法146

8.2.2反幂法150

§8.3雅可比方法151

8.3.1实对称矩阵的旋转正交相似变换151

8.3.2雅可比方法及其收敛性153

习题156

参考文献157