群论彩图版

致谢
前言
概述 1
第 1 章 群是什么 2
1. 1 一个有名的玩具 2
1. 2 观察魔方 3
1. 3 关于对称性的研究 3
1. 4 群的法则 4
1. 5 习题 5
1. 5. 1 满足法则的情形 5
1. 5. 2 关于法则的一些结论 6
1. 5. 3 不满足法则的情形 6
1. 5. 4 数字群 7
第 2 章 群看起来像什么? 8
2. 1 绘图 8
2. 2 一个不那么有名的玩具 10
2. 3 绘制群图 11
2. 4 凯莱图 13
2. 5 初识抽象群 14
2. 6 习题 17
2. 6. 1 基础知识 17
2. 6. 2 绘图 17
2. 6. 3 回顾 18
2. 6. 4 法则 18
2. 6. 5 图形 18
第 3 章 为什么学习群? 20
3. 1 对称群 20
3. 1. 1 分子的形状 22
3. 1. 2 晶体学 23
3. 1. 3 艺术与建筑 24
3. 2 作用群 27
3. 2. 1 舞蹈 27
3. 2. 2 多项式的根 28
3. 3 群无处不在 29
3. 4 习题 30
3. 4. 1 基础知识 30
3. 4. 2 分子的对称性 30
3. 4. 3 重复模式 31
3. 4. 4 舞蹈 32
第 4 章 群的代数定义 33
4. 1 作用都去哪儿了? 33
4. 2 组合, 组合, 组合 35
4. 3 乘法表 36
4. 4 经典定义 38
4. 4. 1 结合律 39
4. 4. 2 逆元素 40
4. 4. 3 群的经典定义 40
4. 4. 4 过去, 现在, 未来 41
. 5 习题 41
4. 5. 1 基础知识 41
4. 5. 2 创建乘法表 42
4. 5. 3 伪乘法表 43
4. 5. 4 低阶群 45
4. 5. 5 表的模式 46
4. 5. 6 代数 46
第 5 章 五个群族 49
5. 1 循环群 49
5. 1. 1 旋转体 49
5. 1. 2 乘法表和模加法 50
5. 1. 3 轨道 52
5. 1. 4 循环图 53
5. 2 阿贝尔群 53
5. 2. 1 凯莱图中的非交换性 54
5. 2. 2 交换乘法表 55
5. 2. 3 错综复杂的循环图 56
5. 3 二面体群 58
5. 3. 1 翻转与旋转 58
5. 3. 2 D
n 的凯莱图 59
5. 3. 3 D
n 的乘法表 60
5. 3. 4 第 7 章的一点预告 60
5. 3. 5 D
n 的循环图 60
5. 4 对称群与交错群 62
5. 4. 1 置换 62
5. 4. 2 置换群 62
5. 4. 3 柏拉图立体 64
5. 4. 4 凯莱定理 66
5. 4. 5 小结 69
5. 5 习题 69
5. 5. 1 基础知识 69
5. 5. 2 理解群族 70
5. 5. 3 小成员 71
5. 5. 4 提高篇 72
5. 5. 5 拓展篇 73
5. 5. 6 凯莱定理 75
第 6 章 子群 77
6. 1 关于凯莱图, 乘法表
说了什么? 77
6. 1. 1 完善我们的非正式定义 78
6. 2 看见子群 79
6. 3 显露子群 80
6. 4 陪集 81
6. 5 拉格朗日定理 84
6. 6 习题 86
6. 6. 1 基础知识 86
6. 6. 2 理解子群 87
6. 6. 3 哈斯图 89
6. 6. 4 重组可视化图 89
6. 6. 5 寻找例子 90
第 7 章 积与商 92
7. 1 直积 92
7. 1. 1 可视地构造直积 93
7. 1. 2 更多直积的例子 95
7. 1. 3 为什么做直积? 96
7. 1. 4 代数观点 99
7. 2 半直积 102
7. 3 正规子群与商 105
7. 4 正规化子 110
7. 5 共轭 114
7. 6 习题 117 Ⅶ
7. 6. 1 直积 117
7. 6. 2 半直积 119
7. 6. 3 商 119
7. 6. 4 正规化子 120
7. 6. 5 共轭 121
第 8 章 同态的力量 123
8. 1 嵌入和商映射 123
8. 1. 1 嵌入 127
8. 1. 2 商映射 128
8. 2 同态基本定理 131
8. 3 模运算 133
8. 4 直积与互素 136
8. 5 阿贝尔群基本定理 139
8. 6 再访半直积 140
8. 7 习题 142
8. 7. 1 基础知识 142
8. 7. 2 同态 143
8. 7. 3 嵌入 143
8. 7. 4 商映射 144
8. 7. 5 阿贝尔化 144
8. 7. 6 模运算 145
8. 7. 7 互素 145
8. 7. 8 半直积 146
8. 7. 9 同构 147
8. 7. 10 有限交换群 149
第 9 章 西罗定理 152
9. 1 群作用 153
9. 2 走向西罗: 柯西定理 157
9. 2. 1 6 阶群的分类 161
9. 3 p - 群 162
9. 4 西罗定理 165
9. 4. 1 西罗定理: p - 子群的
存在性 165
9. 4. 2 8 阶群的分类 168
9. 4. 3 第二西罗定理: p - 子群间的
关系 170
9. 4. 4 第三西罗定理: p - 子群的
个数 172
9. 4. 5 15 阶群的分类 173
9. 5 习题 174
9. 5. 1 基础知识 174
9. 5. 2 群作用和作用图 174
9. 5. 3 论证 174
9. 5. 4 西罗 p - 子群 175
9. 5. 5 给定阶群的分类 175
第 10 章 伽罗瓦理论 177
10. 1 大问题 177
10. 2 更多大问题 180
10. 3 域扩张的可视化 182
10. 4 不可约多项式 185
10. 5 伽罗瓦群 187
10. 5. 1 一个小的域扩张:
Q Q (槡2) 187
10. 5. 2 Q Q (槡2) 的对称性 188
10. 5. 3 域扩张的对称性 189
10. 5. 4 Q Q (槡2, 槡3) 的对称性 191
10. 5. 5 Q Q (槡3 2) 的对称性 193
10. 6 伽罗瓦理论的核心 195
10. 7 不可解 198
10. 7. 1 一个不可解群 198
10. 7. 2 一个不可解多项式 200
10. 7. 3 结论 202
10. 8 习题 202
10. 8. 1 基础知识 202
10. 8. 2 域和扩张 204
10. 8. 3 多项式和可解性 207
10. 8. 4 有限域 208
部分习题答案 209
符号索引 229
参考文献 231