工科微分流形研究导论

1 流形的数学基础
1.1 空间Rn及其拓扑
1.2 映射
1.3 实分析
1.3.1 解析性
1.3.2 算符
1.3.3 换位子
1.4 群论
1.4.1 定义
1.4.2 李群
1.4.3 子群
1.4.4 同构和同态
1.5 小结
2 拓扑流形的来源和演变
2.1 微分流形的来源
2.2 流形概念的演变
2.3 小结
思考和练习题
3 微分流形
3.1 微分流形中重要的术语
3.1.1 拓扑流形
3.1.2 光滑映射基础
3.1.3 微分流形
3.1.4 商流形
3.1.5 单位分解定理
3.2 切向量和切空间
3.2.1 欧氏空间的切向量
3.2.2 微分流形的切向量
3.2.3 切空间
3.2.4 余切空间
3.2.5 切空间与余切空间中的基变换
3.3 切映射
3.3.1 函数的拉回
3.3.2 切映射
3.3.3 切映射的局部坐标表示
3.3.4 余切映射
3.4 向量和向量场
3.5 小结
思考和练习题
4 映射和张量
4.1 从线性变换谈起
4.2 映射
4.2.1 双线性函数与矩阵、二次型之间的关系
4.2.2 双线性函数空间
4.2.3 线性空间的张量积及泛性（同调代数中一个重要性质）
4.2.4 线性对偶
4.2.5 映射的微分
4.2.6 反函数定理
4.2.7 秩定理
4.3 张量
4.3.1 基本定义
4.3.2 张量的计算
4.3.3 度量张量
4.3.4 流形上的度量张量场
4.4 小结
4.4.1 基本概念
4.4.2 主要结论
思考和练习题
5 李导数、李代数和李群
5.1 李导数的导出
5.1.1 矢量场和积分曲线
5.1.2 d/dλ算符的求幂
5.1.3 李括号、非坐标基和李代数
5.1.4 李拉曳
5.2 李导数
5.2.1 李导数的基本概念
5.2.2 李导数的性质
5.2.3 李导数的应用
5.2.4 李导数的一个应用实例：S2的生成元
5.3 李代数
5.3.1 李代数的基本定义
5.3.2 基灵矢量场
5.3.3 矢量场和粒子动力学的守恒量
5.3.4 轴对称性
5.4 李群
5.4.1 抽象李群
5.4.2 李群的实例
5.5 李代数和它们的群
5.5.1 李括号的一般定义
5.5.2 覆盖
5.5.3 SU（2）
5.5.4 SU（2）的幂
5.5.5 SO（3）的幂
5.5.6 SU（2）涵盖SO（3）
5.5.7 拓扑结构
5.6 小结
思考和练习题
6 微分形式的代数和微积分计算
6.1 微分形式的代数
6.1.1 体积的定义
6.1.2 反对称张量的记法和定义
6.1.3 微分形式
6.1.4 微分形式的运算
6.1.5 1-微分形式和狄拉克δ函数
6.1.6 1-微分形式的梯度和表示
6.1.7 基1-微分形式和1-微分形式的分量
6.1.8 指数记号
6.2 微分形式的积分计算
6.2.1 微分形式的外积（展开）
6.2.2 微分形式的限制
6.2.3 微分形式的场
6.2.4 手征性与可定向性
6.2.5 体积和可定向流形上的积分
6.3 微分形式的代数（进一步展开）
6.3.1 N-矢量，对偶，符号εij…k
6.3.2 张量密度
6.3.3 广义的克罗内克函数
6.3.4 行列式和εij
6.3.5 度量体积元素
6.4 微分形式的微分
6.4.1 外微分
6.4.2 外微分的常见例子
6.4.3 微分的外积运算
6.4.4 外微分式及其外微分式的外积运算
6.4.5 多变量积分中的积分微元代换公式
6.4.6 各阶外微分式的外微分运算
6.4.7 牛顿-莱布尼兹公式，斯托克斯公式，格林公式高斯公式的统一描述
6.4.8 庞加莱引理及其逆
6.5 小结
思考和练习题
参考文献