微分几何简明教程

目录

序

前言

第1章 曲线论的基本概念 1

1.1 正则参数化的曲线 1

1.2 弧长参数 1

1.3 Frenet标架的运动方程、曲率和挠率 2

第2章 曲线论基本定理 8

2.1 两个例子 8

2.2 曲率、挠率与曲线形状 9

第3章 平面曲线的相对曲率 12

3.1 相对曲率 12

3.2 相对曲率与切向辐角 13

第4章 平面简单闭曲线 16

4.1 Hopf旋转数定理 17

4.2 相对曲率的驻点 21

第5章 曲面论的基本概念 24

5.1 正则参数化的曲面 24

5.2 标架运动方程 25

5.3 曲面论的基本几何量 27

5.4 关于刚体运动的不变性 31

5.5 切向量场与参数变换 31

5.5.1 线性独立的向量场与参数变换 31

5.5.2 曲率线参数 33

5.6 Gauss曲率与曲面形状 34

5.7 Gauss曲率的内蕴表示 35

5.8 平均曲率公式 37

第6章 几类特殊曲面 39

6.1 函数的图 39

6.2 旋转曲面 40

6.3 直纹面 41

6.3.1 直纹面的Gauss曲率 41

6.3.2 可展曲面 42

6.3.3 没有脐点的可展曲面 42

6.4 全脐点曲面 44

6.5 常Gauss曲率曲面的例子 44

6.6 极小曲面 45

6.6.1 平均曲率与面积泛函 45

6.6.2 悬链面 46

6.6.3 极小图 47

6.7 管状曲面 49

第7章 曲面上的曲线 51

7.1 测地曲率和测地挠率 51

7.1.1 标架运动方程 51

7.1.2 正则参数化曲线的测地曲率和测地挠率 53

7.1.3 测地曲率、测地挠率与曲率、挠率的关系 54

7.2 协变导数与平行移动 55

7.2.1 协变导数 55

7.2.2 协变导数的基本性质 56

7.2.3 测地线 56

7.2.4 平行移动 57

7.3 局部Gauss-Bonnet公式 59

7.4 有孤立奇点的向量场 61

7.4.1 向量场在一点处的指标 61

7.4.2 指标的积分公式 63

第8章 两类特殊参数化 65

8.1 测地线方程组 65

8.2 一点规范化的参数变换 66

8.3 极坐标变换 67

8.4 共形参数化 69

8.4.1 共形参数变换 69

8.4.2 局部存在性 70

8.4.3 球极投影 71

第9章 曲面论基本定理 72

9.1 第一基本型、第二基本型的相容性条件 72

9.1.1 标架运动方程的相容性条件 72

9.1.2 Gauss方程 73

9.1.3 Codazzi方程 74

9.1.4 Gauss方程的一个应用 75

9.2 曲面论基本定理的证明 76

第10章 极小曲面 81

10.1 极小图 81

10.1.1 可积条件 81

10.1.2 Levy变换 82

10.1.3 极小曲面的局部共形参数化 83

10.1.4 Bernstein定理 84

10.2 极小曲面与复分析 85

10.2.1 Weierstrass数据 86

10.2.2 共形参数化曲面的Weierstrass数据 86

10.2.3 Weierstrass数据的亚纯函数表示 87

10.2.4 Weierstrass表示 88

第11章 曲面的整体描述 91

11.1 R3中的曲面 91

11.2 R3中的可定向曲面 92

11.3 共形坐标覆盖 94

11.4 曲面的几何量 95

11.5 球面刚性定理 96

11.6 整体Gauss-Bonnet公式 97

11.6.1 三角剖分与欧拉数 97

11.6.2 亏格与欧拉数 99

11.6.3 整体Gauss-Bonnet公式的证明 100

11.6.4 向量场的指标公式 102

11.7 亚纯微分 103

11.8 协变导数和指数映射 105

11.8.1 协变导数 105

11.8.2 测地线 105

第12章 内蕴距离与三角剖分 107

12.1 内蕴距离 107

12.2 最短测地线 108

12.3 强凸集 110

12.4 Radó定理的微分几何证明 113

参考文献 116

索引 117