数值计算基础

目录
前言
绪论 1
0.1 数值分析的特点 1
0.2 数值计算的误差 2
0.2.1 误差与有效数字 2
0.2.2 数值运算的误差估计 4
0.3 避免误差危害的原则 5
0.3.1 要避免两相近数相减 5
0.3.2 防止大数“吃掉”小数 5
0.3.3 减少计算次数 6
0.3.4 避免使用不稳定的数值方法 6
第1章 非线性方程和方程组的数值解法 8
1.1 二分法 8
1.2 迭代法及其收敛性质 10
1.2.1 收敛阶 11
1.2.2 计算效率 11
1.3 单点迭代法——不动点迭代 12
1.3.1 不动点迭代的几何原理 12
1.3.2 不动点迭代的收敛性 14
1.3.3 不动点迭代的收敛阶 16
1.4 单点迭代法——Newton 迭代法 17
1.4.1 基于反函数 Taylor 展开的迭代法构造 17
1.4.2 Newton 迭代法 19
1.4.3 简化 Newton 迭代法与 Newton 下山法 21
1.5 多点迭代法——割线法 22
1.5.1 割线法 23
1.5.2 虚位法 25
1.6 重根上的迭代法 26
1.7 迭代加速收敛的方法 29
1.8 拟 Newton 法 31
1.8.1 拟 Newton 法 32
1.8.2 秩 1 的拟 Newton 法 32
习题1 35
第2章 线性代数方程组数值解法 38
2.1 Gauss 消元法 38
2.1.1 Gauss 消元法 39
2.1.2 列选主元的 Gauss 消元法 41
2.1.3 全主元 Gauss 消元法 42
2.1.4 Gauss-Jordan 消元法 43
2.2 三角分解法 46
2.2.1 Doolittle 分解方法 48
2.2.2 Crout 分解方法 51
2.2.3 Cholesky 分解方法 52
2.2.4 解三对角方程组的追赶法 56
2.3 向量范数与矩阵范数 60
2.3.1 向量范数 60
2.3.2 矩阵范数 61
2.3.3 有关定理 64
2.4 矩阵的条件数与病态线性方程组 67
2.4.1 误差分析与矩阵的条件数 67
2.4.2 病态线性方程组 71
2.5 线性方程组的迭代解法 73
2.5.1 迭代法的一般形式 73
2.5.2 迭代法的收敛条件 74
2.5.3 Jacobi 迭代法 76
2.5.4 Gauss-Seidel 迭代法 77
2.5.5 超松弛 SOR 迭代法 79
2.5.6 迭代法收敛的其他判别方法 82
2.6 共轭梯度法 85
2.6.1 与方程组等价的变分问题 86
2.6.2 *速下降法 86
2.6.3 共轭梯度法 88
习题2 92
第3章 插值法与数值逼近 96
3.1 多项式插值 96
3.1.1 插值问题的提出 96
3.1.2 多项式插值 96
3.1.3 Lagrange 插值公式 97
3.1.4 Newton 插值公式 102
3.1.5 反插值 105
3.1.6 插值公式的运用及其收敛性与数值计算稳定性 105
3.1.7 Hermite 插值与分段插值 109
3.2 样条插值 115
3.2.1 引言 115
3.2.2 基本概念 115
3.2.3 三弯矩插值法 117
3.2.4 三转角插值法 120
3.3 有理逼近 126
3.4 *佳平方逼近 129
3.4.1 正交多项式及其性质 129
3.4.2 函数的*佳平方逼近 136
3.4.3 曲线拟合的*小二乘逼近 141
3.4.4 多项式*小二乘的光滑解 146
3.5 周期函数逼近与快速 Fourier 变换 148
3.5.1 周期函数的*佳平方逼近 148
3.5.2 快速 Fourier 变换 151
习题3 153
第4章 数值积分 157
4.1 数值积分的一般问题 157
4.1.1 数值积分思想概述 157
4.1.2 代数精度的概念 158
4.2 Newton-Cotes 求积公式 160
4.2.1 Newton-Cotes 求积公式的提出 160
4.2.2 偶数阶求积公式的代数精度 162
4.2.3 复化求积法 164
4.3 Romberg 算法 167
4.3.1 梯形公式的递推化 167
4.3.2 Romberg 公式 168
4.4 Gauss 求积公式 169
4.4.1 Gauss 点 170
4.4.2 Gauss-Legendre 公式 171
4.4.3 Gauss 公式的余项 173
4.4.4 Gauss 求积公式的稳定性 174
4.5 带权函数的 Gauss 求积公式 175
4.5.1 数值求积公式和代数精度 175
4.5.2 Gauss 求积公式的求积系数和余项的选取 177
4.5.3 无穷区间上的求积公式 179
4.5.4 Gauss-Chebyshev 求积公式 181
4.6 复化 Gauss 求积公式 185
4.7 振荡函数的求积公式 187
4.8 自适应积分方法 189
4.9 多重积分求积公式 193
4.9.1 蒙特卡罗方法 193
4.9.2 余项的误差分析 196
习题4 197
第5章 矩阵特征值计算 200
5.1 特征值基本性质和估计 200
5.1.1 特征值问题及其性质 200
5.1.2 特征值估计 201
5.2 幂法和反幂法 204
5.2.1 幂法 204
5.2.2 加速与收缩方法 209
5.2.3 反幂法 212
5.3 Jacobi 方法 215
5.3.1 旋转变换 216
5.3.2 Jacobi 方法 218
5.4 Householder 方法 220
5.4.1 Householder 变换 220
5.4.2 对称三对角矩阵的特征值计算 225
5.4.3 特征向量的计算 229
5.5 LR 和 QR 算法 229
习题5 233
第6章 常微分方程数值解法 236
6.1 引言 236
6.2 Euler 方法 238
6.2.1 Taylor 展开方法 238
6.2.2 化导数为差商的方法 238
6.2.3 数值积分方法 239
6.3 Runge-Kutta 法 241
6.3.1 RK 法的一般形式 241
6.3.2 二级 RK 法 242
6.3.3 四级 RK 法 244
6.3.4 变步长的 RK 方法 246
6.4 单步法的收敛性与相容性 247
6.5 线性多步法 249
6.5.1 线性多步法的一般形式 249
6.5.2 线性多步法的逼近准则 250
6.5.3 线性多步法阶与系数的关系 250
6.5.4 线性多步法的构造方法 252
6.6 预测-校正方法 258
6.6.1 基本思想 258
6.6.2 基本方法 259
6.7 线性多步法的收敛性和数值稳定性 262
6.7.1 收敛性 262
6.7.2 数值稳定性 268
6.8 方程组和高阶方程 273
6.8.1 一阶方程组 273
6.8.2 化高阶方程为一阶方程组 274
6.9 Stiff方程简介 276
6.9.1 Stiff方程 276
6.9.2 A(α)-稳定，刚性稳定 278
习题6 280
参考文献 284