我们知道阿基米德是在西西里岛东南角的希腊城市叙拉古（Syracuse）生活，也死在那里。他在公元前212年被杀，当时罗马军团在马塞卢斯（Claudius Marcellus）的率领下，经过两年的围城后，攻占叙拉古城。根据约14个世纪之后的历史学家策策斯（Tzetzes）的文章显示，阿基米德当时已经是75岁的老人。若这说法正确的话，他的出生年份应该是公元前287年。在他简短有趣的作品《 沙粒的计算 》（The Sand Reckoner）中，他发明一种以亿的乘幂为主的计算方法，其中还提到他的父亲是一位天文学家，曾发现估算太阳与月球相对大小的方法。

阿基米德吸收了两种数学传统。他非常熟悉欧几里得的研究，欧氏所收集汇编的几何理论成为阿基米德的工具盒，在他证明自己的理论时，每当有需要，他就从这个工具盒中掏出可应用的元素。阿基米德几乎可以确定曾在埃及读过书，据说他在那里发明了著名的阿基米德螺旋泵，一种借助转动螺旋管道来汲水的装置。1800年后，伽利略在看到这个装置时大为惊叹，形容它为“不仅不可思议，简直就是奇迹”。我们不确定这个装置是否是阿基米德发明的，不过我们的确知道他跟亚历山大城（Alexandria）的学者关系友好，该城在当时是主要的学术中心。阿基米德将多份研究结果发给萨摩斯（Samos）的数学家暨天文学家科农（Conon），以及昔兰尼的艾拉多塞（Eratosthenes of Cyrene），艾拉多塞是在早期的天文学上以计算出地球半径以及在数学上以提出寻找质数的“试除法”而扬名的科学家。这两人都在亚历山大城生活与工作。阿基米德的研究以数世纪的发现为基础，然而他所踏出的每一步都是新的突破。

公元前214年，罗马从海陆攻击叙拉古。这个城市并没有很快被轻易攻下，主要原因就在于阿基米德所设计的战争机器。他把自己发现的物理原理简化成明确的数学，借以设计出杠杆和滑轮，将巨大的岩石抛向逼近的敌人军团与战舰。罗马历史学家也描述他所设计的起重机将巨大的重物丢向船舰，或将船首拉起，使它们沉入海底。我们轻易就能想象，这种庞大的装置会对罗马士兵造成多大的恐惧。根据野史的传说，阿基米德是在全神贯注于图解工作时，不理会士兵的命令，因而当场被杀死。

著名的“Eureka”故事也是传说。根据三个世纪后的罗马建筑师维特鲁威（Vitruvius）叙述，希伦二世（King Hieron Ⅱ）怀疑他指派制作黄金王冠的工匠，以银替换国王所提供的一些黄金。于是希伦二世向阿基米德提出一个难题，要求他验证王冠的纯度，但因王冠已经奉献给众神，因此不能将它破坏。阿基米德在浸身洗澡时想到了解决方法，而且在狂喜之下，裸身在街上狂奔，口中大喊“Eureka！”——我发现了！

由于我们已知希伦王曾经以其他问题求教阿基米德，因此他很可能也真的问过阿基米德这个问题。此外，阿基米德的确发现有关物体在水中的物理定律，具体地说就是深奥的阿基米德原理：浸于液体中的物体所受到的浮力，与它所取代的液体重量相当。阿基米德正是利用这个原理，来解决王冠的纯度问题。他知道相同重量的金与银所占的体积不同，因此取代的水量不同。所以只要测量王冠所取代的水量，跟相同重量的纯金与纯银所取代的水量进行比较，就能计算出皇冠中银所占的比例。

只是阿基米德的反应似乎不太真实。如同数学家斯坦（Sherman Stein）所写的：“我认为这么基本的观察不可能让阿基米德兴奋到要这样庆祝，特别是他还有球的表面积与体积、重心，以及浮体的稳定性等更耀眼的发现。”

不过我们不要过河拆桥。阿基米德的宝贝是他带给世人最惊人的创见之一，亦即浮力的数学知识。他分析了到底是什么使任何形状、大小与方位的物体在水中浮沉、翻覆或稳稳地浮着。这些发现从他早期发现的杠杆原理、对重心的研究，以及著名的阿基米德定律，都很有逻辑地一贯延续下来。他大量应用几何学来判定复杂图形的重心，并且预测浮体的稳定或不稳定性。阿基米德秉持他向来对实用性的鄙视，并未将他的发现应用于当时的船舰。不过他的研究成果至今仍是航海设计的基础。

可以说阿基米德的思想非常先进。虽然他极度重视纯数学，但也愿意用其他方法来解决问题。这是在1906年发现的，当时丹麦数学史家海柏格（J.L.Heiberg）发现了一张羊皮纸，上面记载着阿基米德所谓的《 方法 》（The Method）。这个抄本的年代大约在公元900年，是在君士坦丁堡（即现在的伊斯坦布尔）的修道院发现的。它的部分内容已经被毁，覆盖上有关希腊东正教的仪式描述，不过阿基米德的文字和图解仍然可以阅读。阿基米德对他的同事艾拉多塞描述说，它是“一种特殊的方法，让你能利用力学来了解特定的数学问题。……我可以预见目前及未来将会有人利用这种方法，发现我们尚未了解的其他定理”。

阿基米德所做的是将数学与力学结合，也就是他所发现的杠杆原理及不同形状的重心。他利用物理模型与渐近法来处理未解决的问题，例如抛物线体的体积与重心、球的体积，以及半球的重心。他的图形、模型与思想实验成为他看出解决方法的基础。为了忠实于他的数学根源，他总是严格地验证他的发现。他特别擅长以具有开创性的极限值来“掌握”收敛值的数学关系，从而在这个领域，为1800年后的牛顿与莱布尼兹奠下了发明微积分学的根基。阿基米德利用真实世界的实验，让我们得以窥见他的方法，这在希腊哲学科学家中是独树一帜的。

在阿基米德所有的发现中，他最以自己证明了一种简洁关系为傲，那就是球的体积为环绕它的圆柱体体积的三分之二。他要求把这项成就刻在他的墓碑上。他的愿望显然成真。在阿基米德死后近三个世纪，西塞罗发现他湮没在荆棘中的坟墓，墓碑上仍刻着一颗位于圆柱体内的球。

在跟阿基米德相距遥远的时代，有一个人也从阿基米德的发现中汲取灵感，那就是伽利略。在伽利略深入检视的古代思想家当中，阿基米德让他“在阅读和研究时感到无限惊异”。在阿基米德的启发下，伽利略以实验取代哲学思索，并且接手阿基米德的研究，将物质世界的现象转译成数学语言。我们稍后将会看到，这个做法震撼了整个世界。