现代数学基础

绪论
第一章 近世代数与拓扑
1.1    代数基本概念
1.1.1    逻辑与集合
1.1.2    映射、积与关系
1.1.3    超穷数、势
1.1.4    代数运算，同态与同构
1.2    群
1.2.1    半群、群、子群与同态
1.2.2    变换群、置换群与循环群
1.2.3    陪集、不变子群与商群
1.2.4    对称群、交错群与正多边形群
1.2.5    群论的一些应用实例
1.3    环、域与代数
1.3.1    环、子环、除环与域
1.3.2    理想、同态与剩余类环
1.3.3    变换环、代数与张量积
1.4    模与范畴
1.4.1    模、同态与正合序列
1.4.2    自由模与线性空间
1.4.3    范畴与态射
1.4.4    函子
1.5    拓扑空间基本概念
1.5.1    Euler定理
1.5.2    曲面
1.5.3    拓扑空间与拓扑基
1.5.4    连续映射与同胚
1.5.5    子空间、积空间
1.6    拓扑空间基本性质
1.6.1    拓扑空间的连通性
1.6.2    拓扑空间的分离性公理
1.6.3    拓扑空间的紧致性
习题
参考文献
第二章 泛函分析
2.1    距离空间
2.1.1    距离空间
2.1.2    距离空间中的点集
2.1.3    连续映射
2.1.4    完备的距离空间
2.1.5    紧集与列紧集
2.1.6    压缩映射原理
2.2    赋范线性空间及Banach空间
2.2.1    赋范线性空间
2.2.2    有界线性算子和连续线性泛函
2.2.3    线性算子空间和共轭空间
2.2.4    泛函分析可的基本定理
2.2.5    共轭算子
2.2.6    全连续算子
2.2.7    有界线性算子的谱理论
2.3    Hilbert空间
2.3.1    内积空间
2.3.2    投影定理与Riesz表现定理
2.3.3    标准正交集与Fourier展式
2.3.4    Hilbert空间中的共轭算子和自共轭算子
2.4    非线性算子
2.4.1    非线性算子的有界性和连续性
2.4.2    F-微分和G-微分
2.4.3    积分
2.4.4    多重线性算子，高阶微分
2.4.5    隐函数定理与反函数定理
2.5    拓扑度理论
2.5.1    Brouwer度
2.5.2    Leray-Schauder度
2.5.3    不动点定理及其应用
习题
参考文献
第三章 微分流形及其应用
3.1    微分流形与可微映射
3.1.1    微分流形
3.1.2    可微映射
3.1.3    切向量和切空间
3.1.4    映射的微分、余切向量和余切空间
3.1.5    Riemann流形
3.2    微分形式
3.2.1    Grassmann代数
3.2.2    微分形式
3.2.3    外微分
3.2.4    Poincare引理和逆命题
3.2.5    对偶微分
3.2.6    微分形式与向时量场的内积
3.2.7    Lie导数和Lie代数
3.2.8    伴随微分形式、Hodge星算子
3.2.9    余微分、调和算子
3.2.10    微分形式的一些应用
3.3    流形上的积分
3.3.1    体形式与可定向流形
3.3.2    流形上的积分
3.3.3    Stokes定理
3.4    临界点理论概述
3.4.1    临界点、Sard定理
3.4.2    Morse理论
3.4.3    横截性理论
习题
参考文献
第四章 偏微分方程的现代理论
4.1    偏微分方程的基本概念
4.1.1    偏微分方程定义
4.1.2    偏微分方程的定解问题
4.2    广义函数空间
4.2.1    基本函数空间
4.2.2    广义函数空间
4.2.3    广义函数空的结构
4.2.4    线性偏微分方程的基本解
4.3    Sobolev空间理论
4.3.1    整指数Sobolev空间
4.3.2    实指数Sobolev空间
4.3.3    嵌入定理
4.4    线性偏微分方程的基本方法
4.4.1    二阶线性椭圆型Dirichlet问题的经典解
4.4.2    椭圆型方程的广义解及其正则性
4. 4.3    线性发展方程的Cauchy问题
4.5    线性算子半群理论及其应用
4.5.1    C0半群理论
4.5.2    在发展方程的初始问题中的应用
4.6    非线性偏微分方程的一些典型解法
4.6.1    KdV方程与孤立子
4.6.2    Backlund变换
4.6.3    Hirota双线性直接法
4.6.4    Lax对和反散射方法
习题
参考文献
第五章 小波分析及其应用
5.1    从频率分析到尺度分析
5.1.1    时频局部化问题
5.1.2    窗口Fourier变换
5.1.3    连续小波变换
5.1.4    奇异信号在小波变换下的特征
5.2    框架
5.2.1    框架及其对偶
5.2.2    窗口Fourier框架
5.2.3    小波框架
5.3    正交小波
5.3.1    多尺度分析
5.3.2    正交小波的构造
5.3.3    快速小波算法
5.3.4    小波与函数空间
5.3.5    向量小波基
5.4    双正交小波基
5.5    正交基库与最优算法
5.5.1    正交小波包
5.5.2    局部正（余）弦基
5.5.3    信息花费函数与最优基选择
5.5.4    快速近似主因子分析
5.6    小波分析应用简介
5.6.1    在信号除噪方面的应用
5.6.2    在图像压缩方面的应用
5.6.3    小波与快速数值计算
习题
参考文献
第六章 随机微分方程
6.1    引言
6.2    基本知识
6.2.1    随机过程
6.2.2    随机过程的数字特征和特征函数
6. 2.3    Markov过程
6.2.4    扩散过程
6.2.5    Brown运动
6.3    随机微积分
6.3.1    L2空间
6.3.2    随机变量序列的收敛
6.3.3    均方连续
6.3.4    均方导数
6.3.5    均方积分
6.4    Ito随机积分
6.5    Ito微分公式
6.6    Ito随机微分方程
6.6.1    解过程的存在性和惟一性
6.6.2    解过程的转移概率密度
6.6.3    解过程的矩
6.7    随机微分方程的一些应用