工程数学基础

目录

译者序
前言
致谢



第一部分线性代数

第1章线性代数与有限维向量空间2
11矩阵回顾2
12线性无关与线性相关3
13张成和基9
14分解向量空间为直和13
15数量积16
16正交性与格拉姆施密特正交化17
17正交补24
18基变换和正交矩阵29
习题33

第2章线性变换41
21线性变换概念41
22线性变换的基变换46
23投影张量52
24正交投影56
25不变子空间61
251零空间61
252值域62
253一维不变子空间66
习题67
第3章线性变换在方程组中的应用71
31值域的正交补和零空间71

32弗雷德霍姆选择定理——
第一次审视74
33当A的行列式为0时的
“最佳解”79
331满足可解性条件79
332不满足可解性条件80
34正规方程82
35广义逆——第一次审视85
351与最小二乘数据拟合的
关系88
352应用：拟合橡胶的应力拉
伸数据89
习题94
第4章特征值的谱99
41特征值和特征向量99
42特征空间104
421对角化105
422应用：弹簧与质量网络的
振动108
43长方形矩阵和奇异值113
44弗雷德霍姆选择定理——
第二次审视118
441弗雷德霍姆选择定理对
Rn→Rm的推广118
442弗雷德霍姆选择定理与
奇异值的关系120
45奇异值分解125
46广义逆——第二次审视131
461与长方形矩阵的奇异值分解
的关系133

462应用：滤除线性系统中
的噪声136
关于线性代数的进一步阅读140
习题141
第二部分复变量

第5章复变量的基本概念148
51复数概述及其简要历史148
52复数及其运算153
53平面几何解释：z平面156
54在复平面上的积分162
55非平面几何解释：黎曼球面166
56复分析中的点对代数172
习题177
第6章单复变量的解析函数181
61一些标准复函数181
62复函数映射——第一次审视186
63解析函数192
631导数193
632柯西黎曼方程195
64调和函数198
65在流体力学中的应用：势流200
651二维稳定流204
652流场中的物体206
66复函数映射——第二次审视：
施瓦茨克里斯托费尔变换208
661作为坐标变换的映射208
662开映射211
663闭映射215
664变换218
习题225
第7章柯西积分定理233
71解析函数与非解析函数的
积分233
711柯西古萨定理234
712柯西古萨定理对于路径
积分计算的结果235
72不定积分——原函数240
73柯西积分公式245
74解析函数导数的路径积分249
75单位圆中的调和函数251
76应用:拉普拉斯逆变换253
77势流再论：流动流体所施加
的力259
习题270
第8章级数展开和路径积分278
81泰勒级数278
82洛朗级数282
83留数和留数定理288
84包围各种极点的路径积分293
85可以计算实积分的复路径
积分299
86分支和分支切割304
861分支映射304
862带分支的积分：椭圆积分311
863带分支的积分：多项式、
对数和分数幂313
864带分支的积分：拉普拉斯
逆变换317
87路径积分的高级主题319
871复傅里叶变换320
872积分路径上的奇点：普莱
梅利公式322
873解析延拓327
关于复变量的进一步阅读333
习题334

第三部分偏微分方程

第9章线性偏微分方程342
91平衡和稳态343
911变量分离、特征值和特征
函数348
912带参数的边界值问题和
非平凡解349
92时间相关过程的偏微分方程及
特征值的作用350
93亥姆霍兹方程的特征函