框架理论及其在数据丢失问题中的应用

　　框架理论是泛函分析、非线性逼近理论、算子理论以及信号理论相结合的产 物，它是继小波理论之后逐步发展起来的一个新的研究方向。框架理论的发展极 大地促进了纯粹数学与工程应用的结合发展，具有十分广阔的应用前景。如今， 框架理论已经广泛地应用于图像处理、信号处理、采样理论、数据压缩、系统建 模、编码和通信等方面。随着现代信息技术的快速发展和广泛应用，人们更加重 视信息资源的开发和利用。尽管框架理论已经得到了较好的发展，但是它作为一 个新兴的研究方向仍有许多问题需要进一步研究。本学位论文对框架的基本理论 展开研究，并解决框架在信号传输过程中有数据丢失时的重构问题，主要研究内 容如下： 1. 研究基于矩阵的框架设计问题。利用矩阵的奇异值分解得到构造特殊框架 的方法，同时，利用酉矩阵得到一些新的紧框架，解决了求解框架算子逆的复杂 性问题。该方法操作简单，从而扩大了框架在实际问题中的应用。 2. 研究融合框架的一些等式和不等式问题。利用有界线性算子的理论和方法， 建立了 Hilbert 空间中的融合框架的等式和不等式。此结论有助于解决融合框架在 并行处理和高性能物理实验中的相关问题。 3. 由于 g- 框架是框架的广义形式，我们研究 g- 框架的相关结论。首先通过 引入 g- 框架算子相应的有界线性算子研究 g- 框架的稳定性。进一步，通过引入 最坏情况误差，研究对偶 g- 框架在有数据丢失情况下的最优对偶 g- 框架，并讨 论规范对偶 g- 框架是唯一最优对偶 g- 框架的充分必要条件。最后，利用已知 g- 框架和有界算子给出逼近对偶 g- 框架关于局部框架的性质，并证明了两个 g- 框 架是彼此接近时，它们的逼近对偶 g- 框架也是彼此接近的。 4. 研究框架理论在信号传输过程中有丢失时的重构问题。基于最优直接法 （MOD），提出一种新的搜索最优对偶框架的方法。在信号重构中该方法能够寻找 到最优对偶框架，解决对于特殊输入信号不是最优的问题。同时，该方法搜索到 的最优对偶框架能够减小重构信号与原始信号的误差，从而在一定程度上解决了 信号传输过程中的重构问题。数值实验也验证了新的方法的有效性。

　　郭倩平，河南财经政法大学，讲师。电子科技大学数学科学学院硕博连读。2017年获得电子科技大学理学博士学位，并获得四川省优秀毕业生和校优秀毕业生。现主要从事框架理论及其在信号传输中有数据丢失的信号重构问题研究。本人已参与完成国家自然科学基金面上项目1项、青年基金3项和省部级项目多项，在重要学术期刊上发表学术论文 8 篇，其中SCI检索5篇。