目 录
译者序
前言
何谓数论1
第1章 整数4
1.1 数和序列4
1.2 和与积13
1.3 数学归纳法18
1.4 斐波那契数24
1.5 整除性30
第2章 整数的表示法和运算35
2.1 整数的表示法35
2.2 整数的计算机运算42
2.3 整数运算的复杂度47
第3章 最大公因子53
3.1 最大公因子及其性质53
3.2 欧几里得算法59
3.3 线性丢番图方程67
第4章 素数74
4.1 素数概述74
4.2 素数的分布83
4.3 算术基本定理96
4.4 因子分解方法和费马数107
第5章 同余116
5.1 同余概述116
5.2 线性同余方程126
5.3 中国剩余定理129
5.4 求解多项式同余方程136
5.5 线性同余方程组141
5.6 利用波拉德ρ方法分解整数148
第6章 同余的应用151
6.1 整除性检验151
6.2 万年历156
6.3 循环赛赛程160
6.4 散列函数161
6.5 校验位165
第7章 特殊的同余式171
7.1 威尔逊定理和费马小定理171
7.2 伪素数177
7.3 欧拉定理185
第8章 算术函数189
8.1 欧拉函数189
8.2 因子和与因子个数197
8.3 完全数和梅森素数203
8.4 莫比乌斯反演216
8.5 拆分222
第9章 密码学235
9.1 字符密码235
9.2 分组密码和流密码241
9.3 指数密码255
9.4 公钥密码学258
9.5 密码协议及应用265
第10章 原根273
10.1 整数的阶和原根273
10.2 素数的原根279
10.3 原根的存在性284
10.4 离散对数和指数的算术290
10.5 用整数的阶和原根进行素性
检验300
10.6 通用指数305
第11章 整数的阶的应用310
11.1 伪随机数310
11.2 埃尔伽莫密码系统317
11.3 电话线缆绞接中的一个
应用321
第12章 二次剩余326
12.1 二次剩余与二次非剩余326
12.2 二次互反律339
12.3 雅可比符号349
12.4 欧拉伪素数358
12.5 零知识证明365
第13章 十进制分数与连分数371
13.1 十进制分数371
13.2 有限连分数381
13.3 无限连分数389
13.4 循环连分数399
13.5 用连分数进行因子分解410
第14章 非线性丢番图方程与椭圆
曲线413
14.1 毕达哥拉斯三元组414
14.2 费马大定理420
14.3 平方和432
14.4 佩尔方程442
14.5 同余数和椭圆曲线447
14.6 模素数椭圆曲线460
14.7 椭圆曲线的应用466
第15章 高斯整数474
15.1 高斯整数和高斯素数474
15.2 最大公因子和唯一因子
分解482
15.3 高斯整数与平方和490
附录495
附录A 整数集公理495
附录B 二项式系数496
附录C Maple、Mathematica和
SageMath在数论中的
应用501
附录D 有关数论的网站514
附录E 表515
参考文献529
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