目 录
教师前言
学生前言
第0章 集合和关系 1
第1章 群和子群 12
1 二元运算 12
2 群 22
3 交换群的例子 37
4 非交换群的例子 48
5 子群 64
6 循环群 74
7 生成集和凯莱有向图 85
第2章 群结构 93
8 置换群 93
9 有限生成交换群 106
10 陪集和拉格朗日定理 117
11 平面等距变换 126
第3章 同态和商群 135
12 商群 135
13 商群计算和单群 144
14 群在集合上的作用 157
15 G集在计数中的应用 168
第4章 群论进阶 173
16 同构定理 173
17 西罗定理 178
18 群列 187
19 自由交换群 198
20 自由群 206
21 群的表现 212
第5章 环和域 221
22 环和域的概念 221
23 整环 231
24 费马定理和欧拉定理 239
25 加密 245
第6章 环和域的构造 251
26 整环的商域 251
27 多项式环 259
28 域上多项式的因式分解 271
29 代数编码理论 283
30 同态和商环 291
31 素理想和极大理想 299
32 非交换例子 308
第7章 交换代数 318
33 向量空间 318
34 唯一分解整环 328
35 欧几里得整环 341
36 数论 348
37 代数几何 356
38 理想的Gr?bner基 363
第8章 扩域 372
39 扩域介绍 372
40 代数扩张 382
41 几何构造 393
42 有限域 401
第9章 伽罗瓦理论 407
43 伽罗瓦理论导引 407
44 分裂域 417
45 可分扩张 427
46 伽罗瓦理论主要定理 436
47 伽罗瓦理论的描述 445
48 分圆扩张 453
49 五次方程的不可解性 459
附录：矩阵代数 467
参考文献 472
记号 475
部分习题答案 475
Contents
教师前言
学生前言
0 SetsandRelations 1
I
GROUPS AND SUBGROUPS 11
1 BinaryOperations 11
2 Groups 19
3 AbelianExamples 32
4 NonabelianExamples 39
5 Subgroups 52
6 CyclicGroups 61
7 GeneratingSetsandCayleyDigraphs 70
II
STRUCTURE OF GROUPS
77
8 GroupsofPermutations 77 9 FinitelyGeneratedAbelianGroups 88 10 CosetsandtheTheoremofLagrange 97 11 .PlaneIsometries 105
III
HOMOMORPHISMSAND FACTOR GROUPS
113
12 FactorGroups 113 13 Factor-GroupComputationsand SimpleGroups 121
iii Contents
.14 Group Action on a Set 132
.15 Applications of G-SetstoCounting 140
IV
ADVANCED GROUP THEORY 145
16 Isomorphism Theorems 145
17 Sylow Theorems 149
18 Series ofGroups 157
19 Free Abelian Groups 166
20 Free Groups 172
21 Group Presentations 177
V
RINGS AND FIELDS 185
22 Rings and Fields 185
23 Integral Domains 194
24 Fermat’s and Euler’sTheorems 200
25 Encryption 205
VI
CONSTRUCTING RINGS AND FIELDS 211
26 TheFieldof Quotientsof anIntegral Domain 211
27 Rings of Polynomials 218
28 Factorization ofPolynomials over a Field 228
29 .AlgebraicCoding Theory 237
30 Homomorphisms andFactor Rings 243
31 Prime and MaximalIdeals 250
32 .Noncommutative Examples 258
VII
COMMUTATIVE ALGEBRA 267
33 Vector Spaces 267
34 UniqueFactorization Domains 275
35 Euclidean Domains 286
36 Number Theory 292
37 .Algebraic Geometry 297
38 .Gr¨obner Basesfor Ideals 303
VIII
EXTENSION FIELDS 311
39 IntroductiontoExtensionFields 311
40 AlgebraicExtensions 319
41 .GeometricConstructions 328
42 Finite Fields 335
Contents v
IX
GALOIS THEORY 341
43 Introductionto GaloisTheory 341 44 SplittingFields 349 45 SeparableExtensions 357 46 Galois Theory 364 47 Illustrations of Galois Theory 372 48 Cyclotomic Extensions 378 49 Insolvabilityof theQuintic 384
Appendix: Matrix Algebra 391 Bibliography 395 Notations 397 Answersto Odd-NumberedExercises Not Asking for De.nitions or Proofs 401
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