数学与经济学：冯·诺依曼与摩根斯坦恩

在伯努利和其他人提出的实验中，虽然结果不一样，但是成功与失败的几率是相等的。投掷硬币虽然不适用于所有的赌博，但在这里是一个合理的假设。伯努利关注的主要是效用与财富之间的关系，而冯·诺依曼 冯·诺依曼，1903年12月生于匈牙利布达佩斯，1957年2月卒于美国华盛顿，美国著名的数学家、物理学家和计算机科学专家。——译者注 （Von Neumann）与摩根斯坦恩1（Morgenstern）在对效用进行讨论的时候，将重点从结果转向了胜算的概率。他们没有研究一个人参与赌博的原因，而是观察一个人在面对多种赌局时会选择哪一种。他们认为，人们对赌局的预期效用取决于两种要素，即最终结果和每种结果出现的概率。人们选择此种赌局而不是彼种赌局，目的是为了获得最大的预期效用。

冯·诺依曼与摩根斯坦恩关于效用的观点是建立在所谓的“选择公理”的基础之上的。这个公理的第一条被称为“可比性”或者“完备性”，它要求赌博或选择具有可比性，并且参与选择的人可以表达自己的偏好。第二条被称为“传递性”，其含义是如果一个人对A的偏好胜过B，B胜过C，那么他对A的偏好就胜过C。第三条是“独立性”，它指出每一个赌局或者每一次赌博都是相互独立的。这可能是最重要也是最具争议性的选择定理。这里，我们提出的假设是在两个赌局之间的偏好顺序不因它们与第三个赌局的比较而改变。就是说，如果我们对赌局A的偏好胜过赌局B，那么把这两个赌局和赌局C进行对比，将不会改变我们对于A和B的偏好顺序。第四条是“可测量性”，它指的是每次赌博的各种结果的出现概率是可以测量的。最后一条定理是“排序定理”。假定一个人在A和D之间排定了B和C的顺序，那么B与A、D之间的关系，或是C与A、D之间的关系对他来说无所谓。这并不影响B、C之间原有的博弈关系。冯·诺依曼和摩根斯坦恩从这些定理中导出了博弈的预期效用函数，就是单个结果的预期效用概率的线性函数。简而言之，如果一场赌博赢得10美元和100美元具有同等概率，那么它的预期效用可以表示成如下的等式：

E(U)=0.5U(10)+0.5U(100)

按照这种方法，我们可以估算出任何博弈的预期效用，前提是我们可以列出所有可能的结果和概率。下文中我们会提到，许多人并不赞同上述的这些选择公理，所以导致了对风险趋避的争论持续了几十年。

冯·诺依曼和摩根斯坦恩的研究有助于人们对风险的理解和分析，这是毫无异议的。这两位学者不仅研究了个体是否应该参与博弈，而且研究了如何在不同的博弈之间进行选择，这就为现代投资组合理论和风险管理实践打下了基础。投资者必须在不同的风险资产（比如股票与?地产）之间进行选择，还必须在同一类风险资产投资（比如投资谷歌公司还是投资可口可乐公司）之间进行选择，而冯·诺依曼和摩根斯坦恩的方法能帮助人们作出这样的选择。在风险管理活动中，预期效用理论不仅帮助我们了解个人及企业应该如何驾驭风险，而且帮助我们了解风险管理的成本与回报之间的关系。我们用β系数2估算股票投资的预期回报率，再利用“风险价值”来衡量风险的影响，就能够实践冯·诺依曼和摩根斯坦恩的理论。