2.知识，知识。如果你是一个熟练的解题者，你也许会发现，除了一些非常一般性的、本质的思维法则之外，将不同“能力”的解题者区分开来的，实际上还是知识。知识是解题过程中的罗塞塔碑石。一道几何题为什么欧几里德能够做出来我们不能，是因为欧几里德比我们所有人都更了解几何图形有哪些性质，借助于一个性质，他很容易就能抵达问题的彼岸；反之，对于不知道某个性质的我们，倒过来试图“发现”需要这样的性质有时几乎是不可能的。有人说数学是在黑暗中摸索的学科，是有道理的。并不是所有的问题都能够通过演绎、归纳、类比等手法解出来的。这方面，费马大定理就是一个绝好的例子，《费马大定理：一个困惑了世间智者358年的谜》⑩一书描述了费马大定理从诞生到被解决的整个过程。事实上，通过对费马大定理本身的考察，几乎是毫无希望解决这个问题的，我们根本不能推导出“好，这里我只需要这样一个性质，就可以解决它了”，也许大多数时候我们可以，但那或者是因为我们有已知的知识，或者这样的归约很显然。而对于一些致命的问题，譬如费马大定理，最重要的归约却是由别人在根本不是为了解决费马大定理的过程中得出来的。运气好的话，我们在既有的知识系统中会有这样的定理可以用于归约，运气不好的话，就得去摸索了。

所幸的是，绝大多数问题并不像费马大定理这样难以解决。而且绝大多数问题需要用到的知识，在现有的知识系统里面都是存在的。我们只要掌握得足够好，就有希望联想起来，并用于解题。

当然，也有许多题目，求解它们的那个关键的知识可以通过考察题目本身蕴涵的条件来获得，这类题目就是测试思维本身的能力的好题目了。而如果这个性质根本无法通过对题目本身的考察得出来，那么这个题目测试的就是知识储备以及联想能力。

3.好题目，坏题目。在我看来，好题目即测试一个人思维的习惯的题目（因为知识性的东西是更容易弥补的，尤其是在这样一个年代；而好习惯不是一朝一夕养成的），它应有这样一些性质：

1）不需要用到未知的知识。

2）需要用到未知的知识，但一个敏锐的解题者可以通过对题目的分析自行发现这些所需的知识。

3）考察解题的一般性思路，而不是特定（ad hoc）的解题技巧，尤其是当这个技巧几乎不可能在短时间内通过演绎和试错发现的时候。譬如题目需要用到某种性质，而这个性质对于不知道它的人来说几乎是无法从对题目的考察中得出来的。

4）考察思维能力。联想能力、类比能力、抽象能力、演绎能力、归纳能力、观察能力、发散能力（思维不落巢臼的能力）。