现在我们想象自己是一些微小扁平的虫子,整个一生都生活在这样的一块橡胶膜上。我们不能飞离或跳离它,而且在我们看来,这层薄膜是无限大的。无论沿哪个方向、以多快的速度运动,我们、我们的祖先以及我们的后代过去不曾,将来也不会到达薄膜的边缘(甚至意识不到边缘的存在)。甚至我们的视线都不能脱离薄膜向上或向下看。换句话说,这块薄膜就是我们的整个世界。如果在这个宇宙中没有物质(暂时忽略我们自己的身体,或是我们的虫子朋友和虫子亲戚),这块薄膜将是处处光滑且平坦的。在这个世界中,我们在中学学过的几何知识都是成立的:任意两点间的最短路径都是一条直线,三角形的内角和是180°,且平行线永远不会相交。如果我和我的虫子朋友以完全相同的速度沿平行的跑道赛跑,比赛将会以平局收场。

接下来我们加入一些有趣的物体。想象把一个6磅保龄球、一个20磅保龄球和一个棒球放在橡胶膜的不同位置(假设相距很远)。每个球都会拉伸薄膜,形成一个(向下的)凹陷,并造成薄膜表面的弯曲。弯曲的程度将取决于球的质量(它有多重)。这时,作为虫子的我们在旅行中将会经历不同的境遇。如果在远离这些球的地方运动,我们不会发现任何区别;但当我们来到某个球附近时,就不得不求助数学专业的老师才能确定两点间最短的路径。除此之外,平行线有可能会相交,而三角形的内角和也并不总等于180°。

在这种情况下,我们需要重新定义“直线”——或更准确地说,重新定义两点间的最短路径。在平面空间中,可以用一把直尺确定最短距离。但在弯曲的虫子世界中,我们需要一把新的尺子——一把可以弯曲和伸缩,能依照薄膜的弯曲轮廓调整自己的尺子。这种新测量装置的学名是测地线(geodesic)。在现实世界中,每一位乘坐飞机做长途旅行的人,都可能得益于我们对测地线的理解。由于地球表面是弯曲的(近似呈球形),地面上两点间的最短距离是大圆上的圆弧(大圆,即在地球表面可能画出的最大的圆)。因此,洲际航班往往都沿大圆飞行,从而最大限度地缩短飞行距离。例如,美国纽约市和西班牙马德里市几乎处在同一纬度上,但它们之间的最短路径并不是直接沿纬线自东向西横跨大西洋,而是在平面地图上弯曲的路径——先向北,再转回向南。

总而言之,我们的平面虫子世界已经改变。这时需要一个新的几何来辅助我们在新世界中计算弧形轨迹的距离(特别是两点间的最短路径)。除此以外,我们还要准备接受来自爱因斯坦方程的更奇异的信息。