我第一次遇到运用科学解决复杂性的问题是在 20世纪 70年代初打桥牌的时候。每当我的搭档罗伯特 ?梅不玩牌时，他都在桌角的一个笔记本上涂画一些我无法辨认的潦草字迹和标志。当时，我并不知道他正在创造历史。

逻辑斯蒂差分方程

一个叫做逻辑斯蒂差分方程的简单方程使罗伯特感到困惑。数学家用逻辑斯蒂差分方程来描述动物种群数量的增长。这是一个非常有用的方程，它可以推导出非常有价值的答案。例如，它预测人口最初呈指数增长，但当食物、空间或其他资源变得有限时，人口将达到一个环境可以承受的稳定水平。

不过，罗伯特也发现了一个悖论。当人口增长达到一定的速度时，方程会陷入疯狂的状态。它并没有预测出稳定的变化，而是在“繁荣”和“萧条”之间循环或出现混乱，在这种情况下，人口可能出现繁荣，然后突然间崩溃。造成这种情况的原因是因为该方程含有正反馈元素和负反馈元素。现在人们认为这些元素对各种复杂性的出现极为重要，包括自然界中种群数量的剧烈变动、股票市场上的大幅波动，以及群体智能中包含的稳定模式的出现。

逻辑斯蒂差分方程看似非常简单，但与历史上其他的方程相比，它可能会让更多的数学家发疯。

该方程最初被应用于人口增长。如果 p个个体的数量可以以恒定速度 r无限制地增长，那么我们可以简单地表示为：

p目前 = r ×p之前

例如，如果人口以每年 3%的速度增长，而且在每年的同一天计算人口数量，那么 r的值为 1.03。

这就是所谓的指数增长，很显然，我们的星球无法一直承受这种无限期的增长。无论我们进行怎样的调整，都会有一个上限。我们将 K设定为地球可以承受的最大的人口数量。比利时数学家皮埃尔 ?弗朗索瓦 ?费尔哈斯特（ Pierre Fran.ois Verhulst）在 1838年提出一个绝妙想法，他用一个简单的方程式说明了当人口增长接近人口上限时必须放慢速度，而如果人口数量超过上限，则会变成负增长。逻辑斯蒂差分方程如下：

p目前 = r × p之前 [(K – p之前 )/K]

这个看似简单的方程式（注意，方程是非线性的，因为 p之前本身发生倍增）确实已引发了一些非凡的见解。

公式看起来十分简单。当人口数量远未达到极限时， p之前远小于 K值，该方程可简化为指数增长方程。当人口数量逐渐接近极限时，增长便立即减速，直至（K – p之前）的结果越来越接近零。

这个方程简单描述了细菌在有盖培养皿中或藻类在池塘中的增长情况（只要存在食物或光线）。如果根据时间画一个人口数量图表，则会出现一个经典的 S形线条，开始呈指数增长，经过很长一段时间逐渐达到稳定状态——只要增长的速度不是太快。

一切都保持稳定的状态，直到我们达到“三倍”的增长率（ r = 3）时，奇怪的事情发生了：平缓的人口增长曲线开始在两个不同的状态：“繁荣与萧条”之间波动震荡。当增长率达到 3.449 5时，曲线开始在四个不同的状态之间波动。当增长率达到 3.596时，人口数量在 16个不同状态之间快速波动。增长率再稍微高一点，便进入混乱状态。

关于“繁荣与萧条”的数学计算准确描述了现实世界发生的许多事件。不幸的是，它并未使预测变得更加容易—— 2008年的信贷危机便是一个很好的证明。这在一定程度上是因为基本模型通常过于简化，同时也因为系统的运行状况非常敏感地依赖于某些精确的条件。