几何学和经验

在所有科学的学科中，数学是最受人尊重的，这是为什么呢？因为它的命题是唯一的，从来不需要什么争辩，而其他学科的命题就达不到这种程度。不管什么学科，总是能找到可争辩的地方，而且还会经常有新发现去取代它的危险。虽然这样，其他学科的人也没有必要去羡慕数学家，因为他们的命题的对象只是在想象中，根本没办法找打实实在在的客体。在数学界，只要大家对基本命题或公理一致认同，那么必定带出相同逻辑的其他结论或公理。还有另一个原因赋予了数学极高的声誉，那就是数学可以让其他自然科学有一个可靠数据做支持，如果没有数学，其他科学可能就没有办法被证实。

下面，我要揭示一个谜，这个谜是历来探索者都感兴趣的。既然数学与经验无关，只是靠思维得来的，那么它为什么还能适用于无数个实际存在的个体呢？是不是只靠思维，而不要经验，人类就能得出无数个事实呢？

依照我个人的观点，需要这样来解释：凡是数学命题涉及实在的东西，那么这种命题可靠程度就值得怀疑了；相反，如果这种命题可靠性强，那么它们的实在性就欠缺了。在数学中有个叫“公理学”的东西，通过它才能把这种情况弄明白。公理学能够很清楚分开什么是逻辑—形式，什么是客观或直观的内容。在公理学中，数学题材的构成只有逻辑—形式，而与其他的无关。

下面我们利用这个观点来解决一条数学公理：连接空间里的任何两个点，有而且总有一条直线。具体怎样解释这条公理呢？我们分两种情况，一种是古代的解释，一种是近代解释。

古代解释：

在很早很早以前，什么是直线、什么是点，大家已经非常清楚了。但究竟是怎样获得了这种知识，还真不好说清楚。究竟是人类精神能力启发的，还是经验的总结呢？抑或是两者的结合呢？还是有其他的来源呢？数学家也很难解决这个问题。于是哲学家接手了这个问题。这条公理估计比一切数学的知识都早得到，是一种自明的公理。

近代解释：

几何学几本都是由直线、点等概念来组成的。接受这些知识，不需要什么先前的知识或经验，只要告诉你这样的公理就行了。对于这些公理的理解，完全是出于纯粹形式意义上的，不涉及任何的直觉或经验。人们通过逻辑思维，就可以自由地创造出这些公理。因此，几何学的命题基本都是从逻辑上对公理进行推论。在几何学中，对事物的处理，完全由公理的定义来决定。斯里克曾写过一本关于认识论的书，他说，公理其实就是“隐形的定义”。

现代公理学的观点将数学的一切外在附加因素抹干净了，使得数学基础更加清晰了，之前的种种疑团也被解开了。这是一种被修正过的数学方面的解释，不过不能给直觉对象或者实际客体以更明了的解释。当公理学运用到几何中的时候，“点”、“直线”等也只能算是没有内容的空壳。数学并不能给它们以什么内容。

数学，特别是几何学，存在的理由很特别，是为了给实际客体的某些方面一个确切的东西。几何原意是测量大地，这足以说明上述原因。在做大地测量的时候，还要对一些自然对象，比如地球的某些部分、量绳、量杆等，进行排列组合。因此，这是公理学的几何概念体系所不能完成的，即它们不能给这些实际客体明确的断言。为了做到这点，几何学必须修订，将那些单纯的逻辑形式特征去掉，然后将经验的实际客体与公理学中几何概念的空架子一一对应起来。为此，我们希望下面一条命题来完成，这条命题就是“固体间的排列关系，与三维欧几里得几何里的形体关系一样”。加上这一条，关于实际客体行为的断言就包含在了欧几里得的命题中。

通过这种方式，几何学就被称为一种自然科学了。而事实上，它也可以被看做是一门最古老的物理学。在这种形势下，经验的归纳就成了它的断言的根据，而不仅仅靠逻辑推理来完成了。经过这样修改的几何学应该叫“实际几何”，这就需要我们弄明白另外一个几何——“纯粹公理学的几何”，还必须弄清楚二者的区分。究竟能不能把宇宙的实际几何归为欧几里得几何，只能靠经验来回答。我们如果承认“光是沿直线传播的”这条经验定律，而且还承认“光实际上是沿着‘实际几何’意义上的直线传播的”，那么这种‘实际几何’就能囊括物理学中的一切长度度量，包括测地学和天文学上的长度量度。

我特别要感谢这种“实际几何”学的观点，因为正是有了它，我才建立了现在的相对论。如果没有这种意义下的几何学，以下的问题也就不用再考虑了：一个相对于惯性系做运动的参照系，因为存在洛伦兹收缩，使得刚体的排列定律不再与欧几里得几何的规则相吻合，所以，假如非惯性系也得以被承认有同等的地位，那么欧几里得几何就必须被放弃。进一步来说，如果缺少上述解释，那么向广义协变方程过渡的决定性一步就很难被确定。假如我们认为在公理学欧几里得几何中得到的物体形体，与实际的刚体之间有一定关系，那么正如敏捷的、有想法的思想家彭加勒认为的那样：欧几里得几何的简单性是其他一切能够设想的公理学的几何所不能达到的。

……如果理论与经验之间真的存在不可调和的矛盾，那么我宁愿保留公理学的欧几里得几何，而去将物理定律改变了。……

一些研究者不认为实际刚体和几何体之间存在等效性，其实很容易能看到这种等效性。他们为什么会这样认为呢？经过更深层的考察，他们发现，在自然界里存在的实际固体身上并没有表现出刚性，这些固体的几何性状是由温度、外力等因素决定的。这样一来，存在于几何与物理实在之间的那种原始、直接的关系就被破坏了，我们必须正视彭加勒的观点，他的理论是从最一般的原理着眼。实在事物的性状不能完全用几何（G）来断言，要想做到这一点，几何必须同全部物理定律（P）相结合。我们可以这样用符号表示：当且仅当（G）与（P）相加时，才能得出实验的结果。在这里，我们可以任意选取（G），也可以任意选取（P）的某些部分。因为所有的物理定律都是无法改变的，要想避开自相矛盾的情况，我们必须把握好其余部分（P）的选取，我们要确保把（G）和全部的（P）合并起来的时候，不与经验冲突。如果我们站在这方面思考问题的话，从认识角度上说，公理学的几何同已获得公认地位的那部分的自然规律是等效的。

我承认一点，依照永恒的观点，彭加勒的理论是没有错误的。在现实世界中，我们无法找到与理论确切相对的东西，比如相对论中量杆以及同它搭配的时钟，我们在现实里是找不到对应物的。显而易见，在物理学的概念大厦里，固体和时钟并没有扮演不可简约的元素，它们的结构是复合式的。在理论物理学上，这种元素无法担当起任何独立的角色。但是，就理论物理学目前的发展状况而言，这些概念是被独立使用的。因为我们在原子结构理论原理方面的知识还非常欠缺，致使我们无法在理论上，把它们当做是构成固体和时钟的基本概念。

另外，我还注意到一种截然相反的观点，这种观点不同意自然界中存在真正的刚体，在这个前提下，刚体性质就无法适用于物理实在。然而，我们没必要在这种观点的研究上大费周章，因为它并没有表面看上去的那样重要。要想使量具的物理状态被准确无误地测定，并验证它的性状可以毫无歧义地替代刚体，是一件很容易的事情。不过，那些有关刚体的陈述恰恰必须参照这种量具。

因此，我们可以说一条为经验所能及的原理构成了整个实际几何的基础，让我们尝试着来认识这条原理。我们可以在一个实际的刚体上做出两个标记，并把这对记号称为一个截段。我们设想手中有两个实际刚体，并且这两个上面各标有一个截断。倘若一个截断两端的记号跟另外一个永远重合的话，我们可以认为这两个截断彼此之间是“相等”的。现在，我们作这样一个假定：

假如在某时某地这两个截断相等，它们在何时何地都会永远相等。

对这个理论最接近的推广是欧几里得的实际几何——黎曼的实际几何。同时，广义相对论也以这个假定为基础。有很多实验可以为这个假定提供依据，现在只挑选一个讲解。光在空虚空间中进行传播的时候，在每一段的当地时间里都会确定一个截断——光的相应路程。相反的情况也是成立的。从这一点我们可以看出：截断假定在相对论中时钟的时间间隔问题上同样适用。

由此我们可以表述如下：在任何时间和地点，如果两只理想的钟走得快慢一致的话，那么不论是什么时间，什么地点，我们再将这两个钟表作比较时，它们的快慢还应该相同。假如实际存在的钟表不遵从这个定律，我们就会发现，同一种元素中被分割开来的原子的本征频率并不会严格一致，这一点有别于经验。经实验我们得知锐光谱线是存在的，这一结果为上述的实际几何原理提供了有力的证据。我们谈论到现在，终于可以分析一个意味深长的问题：四维空间——时间连续区的黎曼度规的成因。

根据这里的观点，我们无法明确地指出这个连续区的结构究竟是来自于欧几里得，或者是黎曼的，也许还是任何别的什么人。要想回答这个有关物理学本身的问题必须依靠经验，只依据方便与否而作出约定选择肯定是不可取的。假如我们仅仅在很小的一片区域里考察空间—时间问题，那么实际刚体的排列定律就非常接近欧几里得几何体的定律，在这种情况下，黎曼的几何理论才能有立足之地。

诚然，我们把有关这个几何学的物理释义，在小于分子数量级的空间中进行直接运用是行不通的。不过，这一做法也不是毫无益处，至少在解决一些有关基本粒子的组成问题时，还发挥了一些作用。我们对组成物质的带电基本粒子进行描述时，可以试图把场的概念赋予一定的物理意义。在此之前，我们只是将这些概念运用在比分子大得多的物体上，用来描述这些物体的几何性状，并给予这些物体一个物理定义。现在，我们想把黎曼几何的基本原理在物理定义之外的范畴使用，并且希望它仍具有物理实在的意义，可是，此刻我们无法评判这种企图的成功与否，我们只能去试验中寻求答案。也许会是这样的结果：这种外推与温度概念外推到分子数量级的物体相比时，缺少了许多依据。

从表面看来，把实际几何的概念推广到宇宙数量级的空间上，不会出现太多问题。但是，一些反对意见也值得我们注意。这种意见指出：当固体杆组成结构的空间越变越大时，理想刚性就越不可能在这种结构中得以体现。在我看来，这种反对之词并没有涉及问题的实质。因为从实际几何学的意义上看，研究宇宙在空间上的是否有限这一问题，是非常有必要的。甚至，我认为，在不久的将来，天文学未必回答不了这个问题。在这方面，广义相对论提出了两种可能性：

其一，就空间而言，宇宙是无限的。这种无限性只有在一定的条件下才会变成可能。当集中在宇宙星体里的物质平均空间密度等于零时，这一条件也就满足了。这一条件也就意味着：所考察的空间容积逐渐变大，星的总质量对于它们散布着的整个空间容积的比率无限地趋于零。

其二，就空间而言，宇宙也是有限的。这种有限性是通过宇宙空间的重物质平均密度不为零来实现的。因为平均密度愈小，宇宙的容积就愈大。

值得指出的是，关于这个宇宙有限性的假说，我们可以列举一个理论进行论证。广义相对论中有这样一个观点——既定物体的惯性随着它附近有重物质的增加而增大。所以，我们很容易把一个物体的总惯性与它同宇宙中其他物体之间的相互作用联系起来。依据广义相对论的方程我们可以得到以下结论：只有承认宇宙的有限性，才能把惯性完全归结为物体之间的相互作用。

这种论证并没有得到物理学家和天文学家的广泛重视。经过分析，我们最终发现：经验决定了这两种可能性在现实中的存在状况。那么，为什么唯独经验可以验证这些情况呢？

首先，我们可以设想从我们已经观察到的部分宇宙入手，进而来测量物质的平均密度。可是，这种想法根行不通。因为在宇宙中分布的星体是极其不规则的，我们无法凭借自己的想当然，认为某一星体的平均物质密度与其他星体或者星系是等价的。需要特别指出的是，无论我们考察了多大的空间，我们依然不能确定在这个空间以外是否还存在星体。如此一来，计算平均密度的愿望也只能落空。

在这里，我想到了另外一个解决办法，尽管也存在许多困难，但是具有一定的可操作性。如果我们把广义相对论中那些为经验所能及的结论，与牛顿理论的结论相对比，并研究这些偏差时，我们首先会在引力物质的近旁发现一个偏差。水星已经给我们提供了这样的例子。不过，假如我们承认宇宙空间的有限性，那么我们就得到了远离牛顿理论的第二个偏差。我们运用牛顿理论的语言将它表述如下：看起来，不仅有重物质可以产生引力场，而且均匀分布在整个空间里的带负号的质量密度也可以产生引力场。不过，后一种引力场只有在非常广大的引力体系中才能被觉察，因为这个虚设的质量密度肯定极小。

如果银河里星体的统计分布和质量已经被我们得知的话，我们可以借助于牛顿定律，计算出引力场以及这些星所必须具有的平均速度。在这里，我们强调必须具有是有原因的。因为只有保持这个速度，银河系里的各个星体才相互吸引以保证银河系不会坍塌，并且使银河系的实际大小得以维持。如果星体的实际速度能测量出来，而且我们发现这个速度比我们计算出来的速度小的话，我们就可以得出如下结论：遥远距离之间的实际吸引力小于牛顿定律所定的数额。宇宙的有限性可以间接地被这个偏差证明，甚至，我们还可以大致估算出宇宙空间的大小。

我们可以把宇宙设想成一个有限但无边界的三维空间吗？

一般来说，答案是否定的。下面，我们要通过证明得到一个完全不同的结论。我想强调一点，经过一些实践，我们用想象的图像来说明宇宙的有限性理论是没有什么特殊困难的。过不了多久，我们会习惯这些图像。

首先，我们要对认识论的性质进行考察。因为这只是一组概念，几何——物理理论本身不能被直接描绘出来。但是，头脑中现存的各式各样的实在的或者是想象的感觉应验，能够被这些概念联系起来。由此说来，理论形象化实际上是指，为理论寻找系统排列的许多可感觉的经验。就当前而言，我们要解决的问题是，怎样对固体相互排列（接触）的性状进行描述，才把它同宇宙的有限性理论对应起来。对这个问题，我并没有什么新鲜的东西可讲；不过，许多对这些问题感兴趣的人曾向我提出很多疑问，这说明大家的好奇心并没有得到充分的满足。所以，我决定在这里继续讲一下这个问题，如果我讲到了大家已经熟知的部分，还请内行人见谅。

我们提到空间无限的时候，我们意在表达什么主旨呢？其实，这只是说明在这个空间里，我们可以一个挨着一个地任意安放同样大小的物体，而永远不会把空间填满。依照欧几里得几何，我们把很多个同样大小的立方盒，在它们彼此的上下、左右、前后堆放起来，把空间中一个任意大小的地方填满；不过，这种构造是没有边际的。那么，这就意味着我们添加无限多个方盒，永远都有余地。空间是无限的，也就是这个意思。我们可以用一种较为贴切的说法来描述：如果刚体的排列定律符合欧几里得几何的规定，那么，对于实际刚体而言，空间是无限的。

另外，我们可以用平面举一个无限连续区的例子。我们可以将许多张方卡片放在一个平面上，使得任何一张卡片的每一边都被连接。这种构造也是没有止境的。只要这些卡片的排列定律符合于欧几里得几何的平面图形的排列定律，我们可以无限制地继续放卡片。因此，平面对于这些方卡片而言是无限的。我们可以说，平面是二维的无限连续区，空间是三维的无限连续区。

现在，我们再列举一个二维连续区的特殊例子——有限但无边界的。我们用一个大球和一些大小相同的纸制小圆片来说明这种情况。我们在大球表面的任意一个地方放一个纸片，并把这个纸片在球的表面随意移动，在这个过程中，我们就碰不到边界。因此，我们可以把这个大球的表面看成一个没有边界的连续区。很显然，这个连续区也是有限的。我们可以想象一下，如果在球的表面贴上所有纸片，并且这些纸片都不会相互交叠，最终会把球面贴满，而不能再贴上另外的纸片。因此，对于纸片而言，这个球的表面是有限的。

值得指出的是，球面是一个二维的非欧几里得连续区，这也就意味着：欧几里得平面的定律不能运用在这些刚性图形的排列上。关于这一点，我们可以用下面的方法证明：我们用六个纸片把一张纸片围起来，这六个纸片，我们也用同样的方式将它们围住，按照这种方式一直继续下去。假如我们把这个构造放在平面上，这个构造就能形成一个连绵不断的排列，在这个排列里，除了那些放在边上的纸片，每一个纸片都与六个纸片相接触。然而，假如我们在球面上进行这样的构造，在起初的时候，因为纸片的半径比球的半径小得多，这种构造还是可行的，因为纸片半径对球半径的比率愈小，这种希望似乎就愈大。可是一直将这种构造继续下去的话，我们会越来越明显地发现，纸片无法按照上述的方式不间断地排列下去。这样一来，就算是那些不能离开这个球面，甚至不能把球面看成三维空间的人，只要他们用纸片来做实验，就会发现他们的二维“空间”不是欧几里得空间，而是球面空间。

相对论的最新研究成果表明，三维空间很可能跟球体空间类似。要是这样的话，三维空间里刚体的排列定律就不会符合照欧几里得几何的规定，而应该遵循近似的球面几何的规定。当然，这需要我们所考察的那部分空间足够大。我们讲到这里，读者可能会犹豫。他可能会愤慨地叫喊，认为没有人能想象出这种东西。他也可能在想：这样说说也无伤大雅，可是不能这样去想。想象一个球面，对我而言不是难事。但是，要我想象它的三维类比，可没那么容易。

这种心理障碍，我们必须克服。但凡是有耐心的读者，他们都会发现不难做到这一点。为了使大家明白这一点，接下来，我们需要再看一下二维球面几何。我们看着附图，我们假设K为球面，L是球面上的一个圆纸片。我们把球面与平面E相接触的地方用S表示。为了表示的方便，我们用一个有边界的面，来表示这个平面。现在，我们开始设想：球面上，与S径向相对的N点是会发光的，它在平面E上投下纸片L的影L′。事实上，球上的每一点都会在平面上留下投影。假如球面上的纸片L发生移动，平面E上的影L′也会发生相应的移动。当纸片L移动到S处，它的投影和它就几乎完全叠合。如果纸片从S处继续向上移动，影L′也从S向外移动，而且越变越大。当纸片L接近发光点N时，影L′就移向无穷远处，而变得无限大。

看完附图，我们来思考一个问题——平面E上的纸片的影L′拥有什么样的排列定律？显而易见，它们同球面上纸片L的排列定律完全一致。球面上纸片的几何与平面上投影的几何是一致的。假如我们把这些投影定义为刚性图形，那么，球面几何在平面E上同样适用。需要指出的是，平面只能接受有限的纸片的投影，因为在纸片上，只有有限个数的纸片影能占到位置。

至此，有人可能会反对将纸片的影归入刚性图形的做法。其实，我们完全可以通过一根尺子在平面E上移动的情况来验证这一点，当影子在平面上移动的距离S越来越远时，影子就会越变越长。不过，在平面上如果这根尺也像纸片的影L′那样能够伸缩会说明什么？那样一来，就无法使人看到影子离开S时会变长，这样的假设也就没有意义。因此，我们可以得到有关纸片影的唯一客观判断：纸片与影之间的关系与欧几里得几何意义上的球面上的刚性纸片的关系，是完全相同的。

在这里，我们需要记住一点：我们只有把纸片的影与那些能在平面E上运动的欧几里得刚体作比较，关于纸片影增大（当它们向无穷远处移动时）的陈述本身才会有客观意义。就影L′的排列定律而言，认为S点在平面上，还是在球面上，都不会影响最终的结果。

对我们而言，把球面几何在平面上表示是非常有必要的，这样一来，我们很容易把它转化为三维模式。

我们设想一个空间里有一个点S和很多个小球L′，这些小球彼此之间都能相互重合。不过，这些小球与欧几里得几何意义上的刚性球不太一样：从S向无穷远的地方移动时，就欧几里得几何的意义来说，这些小球的半径在增长。它在增长过程中所遵循的定律与平面上那些纸片的影L′的半径增长定律相同。

当我们的脑海里出现这些L′球的几何性状的一个生动的映像后，我们假设这个空间里是压根不存在欧几里得几何意义上的刚体，只有L′球性状的形体。这样的话，我们就可以在脑海里清晰地勾勒出一幅关于三维球面空间的图像，准确地说，是关于三维球面几何的图像。在此，我们有必要把这些球称为“刚性”球。当这些小球离开S时，用量杆的量度是无法检验它们大小的增长情况，这一点跟纸片影在平面E上的情况相同，这些球的量度标准性状跟后者的性状相同。在每一点的附近可以找到同样的球的排列，因为空间是均匀的。由于这些球会不断地“增大”，在有限的空间中，只能为一定数量的球留出位置。

因此，我们的思维和想象的实践可以从欧几里得几何中找到支柱，以便获得球面几何的心理图像。这些特殊的形象构图，可以给我们的观念提供很大的帮助，使这些观念更有深度，更具活力。面对所谓的椭面几何问题时，我们也能轻易地采取类似方法。现在，我想郑重地宣布：对非欧几里得几何而言，人的形象思维绝对不是无能为力的。

1. 这篇报告作于1921年1月27日，是在普鲁士科学院会议上所作的。
2. 公理是通过人们的长期实践检验得出的客观规律，不需要证明，并且也无法去证明。公理是推出其他命题的基本命题。
3. 一根物理意义上长度固定的刚尺，当它是以某一个与长度平行的方向的速度v前进的时候，在惯性系内，测得的运动长度要比在静止时测得的长度要短，这一现象称为洛伦兹收缩。
4. 在数学中，度规是定义在集合的元素之间的距离的函数。
5. 如果我们再一次用球面上纸片的情况来说明，这是用不着计算就容易了解的——但只限于二维的情况。——原注