数学的发现：对解题的理解、研究和讲授

译者的话
第一卷序言
第二卷序言
修订版序言
合订版序言
寄言中学教师
对读者的提示
第一部分　模型
第1章　双轨迹的模型
§1.1几何作图
§1.2从例子到数学模型
§1.3例子
§1.4设想问题已经解出来了
§1.5相似图形的模型
§1.6例子
§1.7辅助图形的模型
第1章的习题与评注
第2章　笛卡儿(Descartes)模型
§2.1笛卡儿和他的万能方法
§2.2一个小问题
§2.3列方程
§2.4课堂举例
§2.5几何中的例子
§2.6一个物理中的例子
§2.7一个益智游戏
§2.8两个迷惑人的例子
第2章的习题与评注
第3章　递归
§3.1一个小小发现的故事
§3.2帽子里掏出来的兔子
§3.3不要光看不练
§3.4递归
§3.5符咒(abracadabra)
§3.6帕斯卡(Pascal)三角形
§3.7数学归纳法
§3.8继续前进
§3.9观察，推广，证明，再证明
第3章的习题与评注
第4章　叠加
§4.1插值法
§4.2一个特殊情形
§4.3组合特殊情形以得出一般情形的解
§4.4数学模型
第4章的习题与评注
第二部分通向一般方法
第5章　问题
§5.1什么是问题?
§5.2问题的分类
§5.3求解的问题
§5.4求证的问题
§5.5未知量的元，条件的分款
§5.6所要求的：程序
第5章的习题与评注
第6章　扩大模型的范围
§6.1扩大笛卡儿模型的范围
§6.2扩大双轨迹模型的范围
§6.3从哪一个分款着手
§6.4扩大递归模型的范围
§6.5未知量的逐步征服
第6章的习题与评注
第7章　解题过程的几何图示
§7.1隐喻
§7.2问题是什么?
§7.3这是一个主意
§7.4发展我们的想法
§7.5彻底完成它
§7.6慢镜头
§7.7预习
§7.8计划和程序
§7.9题中之题
§7.10想法的产生
§7.11思维的作用
§7.12思维的守则
第7章的习题与评注
第8章　计划和程序
§8.1一个制订计划的模型
§8.2更一般的模型
§8.3程序
§8.4在几个计划中选择
§8.5计划与程序
§8.6模型与计划
第8章的习题与评注
第9章　题中之题
§9.1辅助问题：达到目的的手段
§9.2等价问题：双侧变形
§9.3等价问题的链
§9.4较强或较弱的辅助问题：单侧变形
§9.5间接的辅助问题
§9.6材料上的帮助，方法论方面的帮助，激起的联想，
导引，演习
第9章的习题与评注
第10章　想法的产生
§10.1一线光明
§10.2例子
§10.3辅助想法的特征
§10.4想法有赖于机会
第10章的习题与评注
第11章　思维的作用
§11.1我们怎样思考
§11.2有了一个问题
§11.3相关性
§11.4接近度
§11.5预见
§11.6探索范围
§11.7决断
§11.8动员与组织
§11.9辨认与回忆
§11.10充实与重新配置
§11.11分离与组合
§11.12一张图表
§11.13部分启示着整体
第11章的习题与评注
第12章　思维的守则
§12.1应该怎样思考
§12.2集中目标
§12.3估计前景
§12.4所要求的：途径
§12.5所要求的：更有希望的局面
§12.6所要求的：有关的知识
§12.7所要求的：重新估计形势
§12.8提问题的艺术
第12章的习题与评注
第13章　发现的规则?
§13.1形形色色的规则
§13.2合理性
§13.3经济，但并不预加限制
§13.4坚持，但有变化
§13.5择优规则
§13.6问题所固有的材料
§13.7用得着的知识
§13.8辅助问题
§13.9总结
第13章的习题与评注
第14章　关于学、教和学教
§14.1教不是一种科学
§14.2教学的目标
§14.3教是一种艺术
§14.4学习三原则
§14.5教学的三原则
§14.6例子
§14.7学习教学
§14.8教师的思和行
第14章的习题与评注
第15章　猜测和科学方法
§15.1课堂水平的研究问题
§15.2例子
§15.3讨论
§15.4另一个例子
§15.5归纳论述的图示
§15.6一个历史上的例
§15.7科学的方法：猜测和检验
§15.8“研究题目”若干应有的特征
§15.9结论
第15章　的习题与评注
习题解答
第一卷附录　给教师及教师的教师的提示
第二卷附录　补充习题与解答
习题
解答
参考文献
后记