高中数学竞赛课程讲座：初等代数

一、集合
数学竞赛中的集合问题
二、函数及性质
（一）运用函数单调性解竞赛题
（二）用单调函数一个性质解竞赛题
（三）与二次函数性质有关的竞赛题
（四）抽象函数问题的解法
三、最值问题
（一）求双层复合最值的解题策略
（二）复合最值问题的解法
（三）集合中元素个数的最值问题
（四）多元函数最值问题解法举例
（五）整最值问题
（六）数学竞赛中的条件最值问题
（七）解分式最值问题的代换策略
（八）轮换对称式最值求法
（九）多元对称式逆向最值求法
（十）多元对称式“非常规最值”的探讨
四、不动点原理
用不动点法解函数、数列等相关问题
五、数列及应用
（一）分组数列及其应用
（二）数列的凸性及其应用
六、递推数列
（一）从构造数列递推计算到牛顿等幂和公式
（二）递推方法
（三）含无理递推式的数列问题化归策略
（四）求含无理递推式数列通项的换元技巧
（五）非线性递归数列化归为线性递归数列的常见技巧
（六）构造辅助数列用递推法（式）解题
七、数列与不等式
（一）用加强命题法证明数列不等式
（二）利用分拆与合项证明数列不等式问题
八、三角函数及应用
（一）用三角代换解代数问题
（二）用三角代换解竞赛题
（三）三角形中的不等关系
（四）利用三角函数证明平面几何题
九、不等式解法
（一）分式不等式的解题策略
（二）含绝对值竞赛题的求解策略
（三）含有参数的不等式问题
（四）数学竞赛中的解不等式问题
十、不等式证明方法
（一）巧引参数证明不等式
（二）用∞/∑/k=0a1qk=a1/1-q （︱q︱<1）解一类竞赛题
（三）解法是怎样找到的
（四）数学奥林匹克中的不等式问题
（五）用换元法证明不等式
（六）巧用齐次化与非齐次化的思想解不等式赛题
（七）构造配对式证明不等式
（八）应用阿贝尔变换解竞赛题
（九）用函数的凸凹性证明不等式
（十）一类分式不等式的一种统一证法
（十一）一些不等式赛题的证明方法
十一、不等式特殊证法
（一）竞赛中不等式证明的一些典型方法
（二）用导数限定法证明不等式
（三）利用切线方程证明不等式
（四）两种拆分方法在解不等式问题中的应用
十二、条件不等式证法
（一）例谈含“abc=1”的条件不等式的证明
（二）条件为ab+bc+ca=l的一类不等式的证明
十三、重要不等式应用
（一）嵌入不等式——数学竞赛命题的一个宝藏
（二）从几何角度证明代数不等式
（三）用schur分拆方法证明不等式竞赛题
（四）几个重要不等式与不等式的证明
（五）柯西不等式的证明与应用
（六）应用切比雪夫不等式解题
十四、复数与多项式
（一）复数域上的方程
（二）应用一元三次方程韦达定理解题
（三）浅谈应用多项式的拉格朗日插值公式解题
十五、构造法
（一）构造法在解数学竞赛题中的运用
（二）构造函数解题
十六、局部调整与反证法
（一）解数学竞赛题的局部调整策略
（二）解题方法的进退与互化
（三）反证法中的“特殊化”
（四）反证法在数学竞赛中的应用