微分方程数值方法：有限差分法

目录
第1章 微分方程简介 1
1.1 常微分方程简介 1
1.2 偏微分方程简介 3
1.3 变分法导出微分方程 4
1.3.1 变分问题 4
1.3.2 变分问题解的必要条件 6
1.4 微分方程的求解方法 11
1.5 小结 13
1.6 习题 13
第2章 常微分方程的有限差分法 15
2.1 有限差分的基本概念 15
2.2 常微分方程初值问题的数值方法 18
2.2.1 欧拉法 18
2.2.2 龙格{库塔法 20
2.2.3 Crank-Nicolson 法 22
2.2.4 截断误差 23
2.2.5 计算例子 25
2.2.6 单步法的收敛性与稳定性 26
2.3 常微分方程边值问题的数值方法 32
2.3.1 截断误差 34
2.3.2 收敛性 34
2.4 微分方程数值求解方法概述 35
2.5 计算例子 35
2.6 离散常微分边值问题的紧致差分格式 37
2.6.1 一阶导数的紧致差分格式 38
2.6.2 二阶导数的紧致差分格式 39
2.6.3 高阶紧致差分格式的进一步介绍 43
2.7 小结 45
2.8 习题 46
第3章 椭圆型方程的有限差分法 48
3.1 有限差分的相关概念 48
3.2 二维椭圆型方程的有限差分法 52
3.2.1 计算例子 54
3.2.2 截断误差 55
3.2.3 收敛性 56
3.3 三维椭圆型方程的有限差分法 56
3.4 变系数椭圆型方程的有限差分法 58
3.5 极坐标形式下的 Poisson 方程的有限差分法 59
3.6 离散 Poisson 方程边值问题的紧致差分格式 61
3.7 差分方程组的快速求解方法 67
3.7.1 基于 Sine 变换 67
3.7.2 基于 Cosine 变换 72
3.7.3 基于 Fourier 变换 74
3.8 小结 77
3.9 习题 78
第4章 抛物型方程的有限差分法 80
4.1 一维抛物型方程初边值问题的有限差分法 80
4.1.1 几种常见差分格式 80
4.1.2 计算例子 84
4.2 差分格式的稳定性 85
4.2.1 稳定性概念 85
4.2.2 判断稳定性的矩阵法 86
4.2.3 用 Fourier 方法判断差分格式的稳定性 88
4.3 二维抛物型方程初边值问题的有限差分法 93
4.3.1 二维方程的一种显式差分格式 93
4.3.2 二维方程的一种隐式差分格式 94
4.3.3 二维方程的另一种隐式差分格式 95
4.3.4 二维方程的分数步长法 95
4.3.5 二维方程的时间分裂法 99
4.3.6 计算例子 101
4.4 三维抛物型方程初边值问题的有限差分法 103
4.4.1 三维方程的一种显式差分格式 103
4.4.2 三维方程的一种隐式差分格式 104
4.4.3 三维方程的另一种隐式差分格式 105
4.5 小结 106
4.6 习题 106
第5章 双曲型方程的有限差分法 109
5.1 一阶常系数线性双曲型方程初边值问题的差分格式 109
5.1.1 显式差分格式 109
5.1.2 Fourier 法分析显式格式的稳定性 112
5.1.3 隐式差分格式 114
5.1.4 计算例子 115
5.2 一阶常系数线性双曲型方程组的差分格式 116
5.3 二维一阶双曲型方程初值问题的差分格式 118
5.3.1 显式差分格式 118
5.3.2 隐式差分格式 120
5.3.3 计算例子 121
5.4 二阶双曲型方程的差分格式 122
5.4.1 一维波动方程的差分格式 122
5.4.2 计算例子 123
5.4.3 二维波动方程的差分格式 123
5.4.4 计算例子 124
5.5 守恒律方程的差分格式 124
5.6 线性对流方程的半拉格朗日法 128
5.6.1 一维对流方程 128
5.6.2 二维的对流方程 130
5.6.3 三维的对流方程 132
5.6.4 计算例子 134
5.7 小结 135
5.8 习题 135
第6章 非线性偏微分方程的有限差分法 138
6.1 非线性椭圆型方程 138
6.2 定态的 Navier-Stokes 方程 144
6.3 非线性抛物型方程 147
6.4 非线性双曲型方程 149
6.5 非线性 Burgers 方程 150
6.6 Kuramoto-Sivashinsky 方程 153
6.6.1 二阶差分格式 153
6.6.2 二阶紧致差分格式 153
6.6.3 四阶差分格式 154
6.6.4 四阶紧致差分格式 154
6.6.5 另一四阶紧致差分格式 154
6.7 非线性薛定谔方程 156
6.8 多步法 160
6.8.1 二步法 160
6.8.2 多步法 161
6.9 气体动力学方程组 162
6.10 Navier-Stokes 方程组的速度{旋量形式 164
6.11 Navier-Stokes 方程的流函数{旋量函数形式 169
6.12 有限差分法在图像恢复中的应用 172
6.12.1 模型的提出与理论求解 172
6.12.2 彩色图像修复 175
6.12.3 模型的数值求解方法 176
6.12.4 模型的数值求解结果与分析 178
6.13 小结 181
6.14 习题 181
第7章 总结与展望 183
参考文献 185