第 1章 度量空间 1
1．1 度量空间 2
1．2 度量空间的其他例子 7
1．3 开集、闭集和邻域 13
1．4 收敛性、柯西序列和完备性 18
1．5 例子——完备性的证明 24
1．6 度量空间的完备化 30
第 2章 赋范空间和巴拿赫空间 35
2．1 向量空间 36
2．2 赋范空间和巴拿赫空间 42
2．3 赋范空间的其他性质 48
2．4 有限维赋范空间和子空间 51
2．5 紧性和有限维 55
2．6 线性算子 59
2．7 有界线性算子和连续线性算子 66
2．8 线性泛函 75
2．9 有限维空间中的线性算子和泛函 81
2．10 算子赋范空间和对偶空间 85
第3章 内积空间和希尔伯特空间 92
3．1 内积空间和希尔伯特空间 93
3．2 内积空间的其他性质 99
3．3 正交补与直和 103
3．4 规范正交集和规范正交序列 110
3．5 与规范正交序列和规范正交集有关的级数 117
3．6 完全规范正交集和完全规范正交序列 122
3．7 勒让德、埃尔米特和拉盖尔多项式 128
3．8 希尔伯特空间中泛函的表示 138
3．9 希尔伯特伴随算子 143
3．10 自伴算子、酉算子和正规算子 147
第4章 赋范空间和巴拿赫空间的基本定理 153
4．1 佐恩引理 153
4．2 哈恩–巴拿赫定理 156
4．3 复向量空间和赋范空间的哈恩–巴拿赫定理 160
4．4 应用到 C[a， b] 上的有界线性泛函 165
4．5 伴随算子 170
4．6 自反空间 176
4．7 范畴定理和一致有界性定理 182
4．8 强收敛和弱收敛 189
4．9 算子序列和泛函序列的收敛 194
4．10 在序列可和性方面的应用 198
4．11 数值积分和弱星收敛 203
4．12 开映射定理 210
4．13 闭线性算子和闭图定理 215
第5章 巴拿赫不动点定理的应用 220
5．1 巴拿赫不动点定理 220
5．2 巴拿赫定理在线性方程组方面的应用 226
5．3 巴拿赫定理在微分方程方面的应用 231
5．4 巴拿赫定理在积分方程方面的应用 235
第6章 在逼近论中的应用 241
6．1 赋范空间中的逼近 241
6．2 唯一性和严格凸性 243
6．3 一致逼近 248
6．4 切比雪夫多项式 254
6．5 希尔伯特空间中的逼近 260
6．6 样条函数 263
第7章 赋范空间中线性算子的谱论 267
7．1 有限维赋范空间中的谱论 267
7．2 基本概念 271
7．3 有界线性算子的谱性质 275
7．4 预解式和谱的其他性质 278
7．5 复分析在谱论中的应用 283
7．6 巴拿赫代数 289
7．7 巴拿赫代数的其他性质 292
第8章 赋范空间中的紧线性算子及其谱论 297
8．1 赋范空间中的紧线性算子 297
8．2 紧线性算子的其他性质 302
8．3 赋范空间中紧线性算子的谱性质 307
8．4 紧线性算子的其他谱性质 313
8．5 含有紧线性算子的算子方程 319
8．6 其他的弗雷德霍姆型定理 324
8．7 弗雷德霍姆择一性 331
第9章 有界自伴线性算子的谱论 337
9．1 有界自伴线性算子的谱性质 337
9．2 有界自伴线性算子的其他谱性质 341
9．3 正算子 344
9．4 正算子的平方根 349
9．5 投影算子 353
9．6 投影的其他性质 357
9．7 谱族 361
9．8 有界自伴线性算子的谱族 365
9．9 有界自伴线性算子的谱表示 371
9．10 谱定理到连续函数的推广 377
9．11 有界自伴线性算子的谱族的性质 380
第 10章 希尔伯特空间中的无界线性算子 384
10．1 无界线性算子及其希尔伯特伴随算子 385
10．2 希尔伯特伴随算子、对称和自伴线性算子 389
10．3 闭线性算子和闭包 393
10．4 自伴线性算子的谱性质 397
10．5 酉算子的谱表示 401
10．6 自伴线性算子的谱表示 408
10．7 乘法算子和微分算子 413
第 11章 量子力学中的无界线性算子 419
11．1 基本概念：状态、观察量和位置算子 420
11．2 动量算子和海森伯测不准原理 423
11．3 与时间无关的薛定谔方程 428
11．4 哈密顿算子 432
11．5 与时间相关的薛定谔方程 438
附录A 复习与参考资料 446
附录B 习题解答 457
附录C 参考书目 538
人名索引 542
索 引 545
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