广义微分几何

　　上世纪末，微分几何受到了理论物理学的挑战：新的对象从经典理论的边缘转移到了几何学家的关注中心。理论物理对数学提出了新需求，于是诞生了广义微分几何（diffeology），本书是这一领域的第一部教科书，奠定了在理论物理中使用的微分几何主要领域的基础。广义微分几何（diffeology）是经典微分几何的一个全局性和包容性的扩展。全局性在于它将其对象扩展到流形之外的 （1）奇异空间，例如无理环面、轨形及叶状集；（2）无限维光滑函数集，微分同胚群、群胚等。这是一种包容性理论，因为在几何构造过程中产生的各种对象都自然带有广义微分结构，包括子空间、商、函数集、幂集等等。这是通过简化公理来实现的：集合上的广义微分结构规定集合中哪些参数化是光滑的。参数化是该理论的核心，它只是由一组数集索引的任意族。为了与通常的实数世界中的光滑性一致，这组参数化需要满足三个简单公理：覆盖、光滑兼容性和局部性。通过将视角从流形转移到一般的广义微分空间，我们得到了一个关于最常见的集合论运算（和、积、子集和商）的强封闭范畴。此外，光滑映射集在泛函广义微分结构下也自然是一个广义微分空间。换句话说，广义微分空间范畴是一个非常简单的完备、余完备和笛卡尔闭的范畴，并且包含流形作为一个满子范畴。许多例子表明，这种灵活性并没有丢失什么；相反，像无理环面这样的对象在几乎所有其它推广流形的方法中都是平凡的，而它们作为广义微分几何对象绝对是非平凡的，并且是有用的。广义微分几何这种公理式的范畴性质使许多定理和构造变得自然。我们可以在不切换范畴的情况下使用光滑路径或环路空间，这带来了深度简化。例如，环路空间上的微分学将许多经典定理简化为最简单的表达式，并强调了它们的高层本质。同时，它们给出了任何广义微分空间的恰当推广。同伦、同调、上同调、De Rham演算、纤维丛、联络、轨形、覆盖、辛几何、矩映射，所有这些经典构造都能在广义微分几何中自然实现。经典微分几何中的许多启发式构造（例如轨形、带角流形、分层等）实际上定义了明确的子范畴，而不需要通过调整或扭曲公理来实现。本书中包含了奇异空间和无限维空间的例子。通过这些例子和练习，读者可以熟悉广义微分几何中发展出来的具体技术。广义微分几何（diffeology）是一种强调实际操作的理论，是一种工具。有了这些经验，读者将能够把这一理论扩展到本书的范围之外。本书对研究微分几何或数学物理的学生与研究人员会非常有用。

　　帕特里克·伊格莱西亚斯-泽穆尔（Patrick Iglesias-Zemmour）是法国马赛数学研究所研究员，也是以色列希伯来大学的长期客座教授。他以辛几何和广义微分几何的研究而闻名。他所著的《广义微分几何》（Diffeology）是该领域全世界的第一部教材。