Python应用数值方法：解决工程和科学问题

第 I 部分  建模、计算机和误差分析
第1章  数学建模、数值方法和问题
求解 3
1.1  一个简单的数学模型 4
1.2  工程与科学中的守恒定律 9
1.3  本书所涉及的数值方法 11
1.4  案例研究：自由落体 12
习题  14
第2章  Python基础 24
2.1  Spyder/IPython运行环境 25
2.2  赋值 26
2.2.1  标量 26
2.2.2  数组、向量和矩阵 27
2.2.3  下标和下标的范围 30
2.2.4  arange、linspace和logspace函数 30
2.2.5  字符串 31
2.3  数学运算 33
2.4  使用内置函数 37
2.5  制图 41
2.6  其他资源 47
2.7  案例研究：探索性数据分析 48
习题  51
第3章  Python编程 57
3.1  Python脚本文件 58
3.1.1  Python脚本 58
3.1.2  Python函数 59
3.1.3  变量作用域 61
3.2  输入和输出 63
3.3  结构化编程 66
3.3.1  决策流程 66
3.3.2  关于参数的更多信息 70
3.3.3  循环 71
3.4  嵌套和缩进 76
3.5  带有函数名称参数的Python函数 79
3.5.1  lambda函数 79
3.5.2  函数-函数 80
3.5.3  参数传递 83
3.6  案例研究：蹦极者的速度计算 85
习题  88
第4章  舍入和截断误差 100
4.1  误差 100
4.1.1  准确度和精确度 101
4.1.2  误差定义 101
4.1.3  迭代计算的计算机算法 104
4.2  舍入误差 106
4.2.1  计算机中数字的表示法 106
4.2.2  计算机中数字的算术运算 111
4.3  截断误差 113
4.3.1  泰勒级数 113
4.3.2  泰勒级数式的余数 116
4.3.3  使用泰勒级数估计截断误差 118
4.3.4  数值微分 118
4.4  总数值误差 122
4.4.1  数值微分的误差分析 122
4.4.2  数值误差的控制 125
4.5  错误、模型误差和数据不确定性 125
4.5.1  错误 125
4.5.2  模型误差 126
4.5.3  数据不确定性 126
习题  126
第Ⅱ部分  求根和最优化
第5章  求根：交叉法 133
5.1  工程和科学应用中的求根问题 133
5.2  图形和试错法 134
5.3  交叉法和初步猜测 137
5.4  二分法 140
5.5  试位法 146
5.6  案例研究：温室气体和雨水 148
习题  152
第6章  根：开型法 159
6.1  不动点迭代 160
6.2  韦格斯坦法 164
6.3  牛顿-拉夫逊法 168
6.4  正割法 174
6.5  布伦特法 175
6.5.1  逆二次插值法 175
6.5.2  布伦特法的算法 177
6.6  Python SciPy函数：brentq 179
6.7  多项式 180
6.8  案例研究：管道摩擦 183
习题 188
第7章  优化 198
7.1  背景介绍 199
7.2  一维优化 201
7.2.1  黄金分割搜索 201
7.2.2  抛物线插值 207
7.2.3  Python的SciPy函数：
minimize_scalar 208
7.3  多维优化 210
7.4  案例研究：平衡和最小势能 212
习题  214
第Ⅲ部分  线性方程组
第8章  线性代数方程与矩阵 226
8.1  矩阵代数概述 227
8.1.1  矩阵符号 228
8.1.2  矩阵运算规则 229
8.1.3  用矩阵形式表示线性代数方程 237
8.2  用Python求解线性代数方程 238
8.3  案例研究：电路中的电流和
电压 240
习题 243
第9章  高斯消元法 249
9.1  求解少量方程 249
9.1.1  图解法 250
9.1.2  行列式和克莱默法则 251
9.1.3  消除未知数法 253
9.2  朴素高斯消元法 254
9.2.1  Python函数：gaussnaive 256
9.2.2  运算计数 258
9.3  主元 260
9.3.1  Python函数：gausspivot 261
9.3.2  用高斯消元法求行列式 262
9.4  三对角方程组 263
9.5  案例研究：加热棒模型 265
习题 268
第10章  LU因式分解法 275
10.1  LU分解法概述 275
10.2  LU分解的高斯消元 276
10.2.1  涉及主元消元的LU分解 279
10.2.2  应用Python的LU分解法 281
10.3  乔里斯基分解法 282
10.4  Python的np.linalg.solve函数 284
习题 285
第11章  矩阵的逆和条件 287
11.1  矩阵的逆 287
11.1.1  计算逆矩阵 287
11.1.2  刺激-响应计算 289
11.2  错误分析和系统状态 290
11.2.1  向量和矩阵范数 291
11.2.2  矩阵条件数 292
11.2.3  用Python计算范数和
条件数 293
11.3  案例研究：室内空气污染 294
习题 297
第12章  迭代法 302
12.1  线性方程组：高斯-赛德尔法 302
12.1.1  收敛性和对角优势 304
12.1.2  Python函数：gaussseide1 304
12.1.3  松弛 306
12.2  非线性系统 307
12.2.1  逐次代换法 307
12.2.2  牛顿-拉夫逊法 309
12.2.3  Python SciPy函数：root 313
12.3  案例研究：化学反应 314
习题 316
第13章  特征值 321
13.1  特征值和特征向量——
基础知识 322
13.2  特征值和特征向量的应用 324
13.2.1  二阶微分方程的一阶等价
方程 325
13.2.2  特征值和特征向量在微分
方程解中的作用 325
13.2.3  特征值和纯振荡的常微分
方程 326
13.3  物理场景-质量-弹簧系统 329
13.4  幂法 331
13.5  Python NumPy函数：eig和
eigvals 333
13.6  案例研究：特征值与地震 334
习题 338
第Ⅳ部分  曲线拟合
第14章  直线线性回归 346
14.1  统计学回顾 347
14.1.1  描述性统计 347
14.1.2  正态分布 351
14.1.3  使用Python进行描述性统计 354
14.2  随机数和模拟 357
14.2.1  均匀分布中的随机数 357
14.2.2  正态分布中的随机数 359
14.3  直线最小二乘回归 361
14.3.1  “最佳”拟合的标准 362
14.3.2  直线的最小二乘拟合 363
14.3.3  绘制直线的“荒岛”法 365
14.3.4  线性回归误差的量化 365
14.4  非线性关系的线性化 370
14.5  计算机应用 375
14.5.1  Python函数：strlinregr 375
14.5.2  Python NumPy函数：
polyfit和polyval 378
14.6  案例研究：酶动力学 379
习题 382
第15章  一般线性回归和非线性回归 393
15.1  多项式回归 393
15.2  多元线性回归 397
15.3  一般线性最小二乘回归 399
15.4  回归中的模型建立与选择 403
15.5  非线性回归 409
15.6  案例研究：拟合实验数据 414
习题 417
第16章  傅里叶分析 424
16.1  用正弦函数进行曲线拟合 425
16.2  连续傅里叶级数 430
16.3  频域和时域 432
16.4  傅里叶积分和变换 435
16.5  离散傅里叶变换(DFT) 435
16.5.1  快速傅里叶变换(FFT) 436
16.5.2  Python SciPy函数：fft 437
16.6  功率谱 439
16.7  案例研究：太阳黑子 440
习题 442
第17章  多项式插值法 446
17.1  插值法简介 447
17.1.1  确定多项式系数 447
17.1.2  Python NumPy函数：
polyfit和polyval 449
17.2  牛顿插值多项式 449
17.2.1  线性插值 449
17.2.2  二次插值 451
17.2.3  牛顿插值多项式的一般形式 452
17.2.4  Python函数Newtint 454
17.3  拉格朗日插值多项式 455
17.4  逆插值 458
17.5  外推法和振荡 458
17.5.1  外推法 458
17.5.2  振荡 461
习题 463
第18章  样条和分段插值 469
18.1  样条简介 469
18.2  线性样条 471
18.3  二次样条 477
18.4  三次样条 478
18.4.1  三次样条的推导 479
18.4.2  末端条件 482
18.5  Python中的分段插值 483
18.5.1  Python SciPy模块的interpolate
函数：CubicSpline 485
18.5.2  附加的Python SciPy插值函数：
interp1d和PchipInterpolator 487
18.6  多维插值 488
18.6.1  双线性插值 489
18.6.2  Python中的多维插值 490
18.7  数据序列的平滑 491
18.7.1  三次样条平滑 491
18.7.2  LOESS平滑法 494
18.8  案例研究：湖中的热传导 499
习题 501
第Ⅴ部分  微积分
第19章  数值积分方程 511
19.1  背景简介 512
19.1.1  什么是积分 512
19.1.2  工程与科学中的积分 512
19.2  牛顿-科特斯方程 514
19.3  梯形法则 516
19.3.1  梯形法则的误差 516
19.3.2  复合梯形法则 517
19.3.3  Python函数：trap 520
19.4  辛普森法则 521
19.4.1  辛普森1/3 法则 521
19.4.2  复合辛普森1/3法则 522
19.4.3  辛普森3/8法则 524
19.5  高阶牛顿-科特斯方程 526
19.6  不等段积分 526
19.6.1  Python函数：trapuneq 527
19.6.2  Python函数：trapz和
trap_cumulative 528
19.7  开放式方法 530
19.8  多重积分 531
19.9  案例研究：数值积分的计算 533
习题 536
第20章  函数的数值积分 543
20.1  简介 543
20.2  Romberg积分 544
20.2.1  Richardson外推 544
20.2.2  Romberg积分算法 546
20.3  高斯求积法 548
20.3.1  待定系数法 548
20.3.2  两点高斯-勒让德公式的推导 550
20.3.3  高点公式 552
20.4  自适应求积法 553
20.4.1  Python函数：quadadapt 553
20.4.2  Python SciPy积分函数：
quad 555
20.5  案例研究：均方根电流 556
习题 559
第21章  数值导数 565
21.1  背景简介 566
21.1.1  什么是导数 566
21.1.2  工程与科学的导数 567
21.2  高精度导数公式 568
21.3  Richardson 外推法 571
21.4  不等间距数据的导数 572
21.5  有误差数据的导数和积分 573
21.6  偏导数 574
21.7  Python数值求导 574
21.7.1  Python NumPy函数：diff 574
21.7.2  Python NumPy函数：
gradient 577
21.8  案例研究：场的可视化 579
习题 580
第Ⅵ部分  常微分方程
第22章  初值问题 594
22.1  概述 595
22.2  欧拉法 595
22.2.1  欧拉法的误差分析 597
22.2.2  欧拉法的稳定性 598
22.2.3  Python函数：eulode 599
22.3  改进欧拉法 601
22.3.1  Heun方法 601
22.3.2  中点法 604
22.4  Runge-Kutta方法 605
22.4.1  二阶Runge-Kutta法 605
22.4.2  经典四阶 Runge-Kutta法 606
22.5  方程组 608
22.5.1  欧拉法 609
22.5.2  Runge-Kutta法 610
22.5.3  Python 函数：rk4sys 611
22.6  案例研究：捕食者—猎物
模型和变体 614
习题 618
第23章  自适应方法和刚性系统 625
23.1  自适应Runge-Kutta方法 625
23.1.1  RKF 4/5算法的Python函数：
rkf45 626
23.1.2  求解IVP ODE的Python函数：
SciPy solve_ivp积分函数 630
23.1.3  事件 633
23.2  多步法 636
23.2.1  非自启动Heun方法 636
23.2.2  误差估计 638
23.3  刚度 639
23.4  Python 应用：带绳的蹦极者 644
23.5  案例研究：普林尼的间歇喷泉 646
习题 649
第24章  边值问题 659
24.1  背景简介 660
24.1.1  什么是边值问题 660
24.1.2  工程和科学中的边值问题 660
24.2  打靶法 663
24.2.1  导数边界条件 665
24.2.2  非线性常微分方程的打靶法 667
24.3  有限差分法 669
24.3.1  导数边界条件 671
24.3.2  非线性 ODE 的有限差分
方法 673
24.4  Python函数：solve_bvp 674
习题 676
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附录A  Matplotlib 685
附录B  三次样条平滑 705
附录C  Python内置关键字：函数、方法、
操作符、类型 710
附录D  书中用到的Python函数和脚本 713
参考文献 715