目录
前言
第1章 映射、关系、实数域 1
1.1 映射、关系 1
1.1.1 一些常用的符号 1
1.1.2 映射 4
1.1.3 关系 9
习题 1.1 12
1.2 有理数集的性质及其缺陷 13
1.2.1 有理数集 Q 的基本性质 14
1.2.2 有理数序列的极限 16
1.2.3 有理数基本序列 19
习题 1.2 23
1.3 实数的康托尔构造 24
1.3.1 实数的定义 24
1.3.2 实数的运算 25
1.3.3 实数的序 26
1.3.4 实数的完备性 30
习题 1.3 33
1.4 实数集上的几个等价定理 33
1.4.1 魏尔斯特拉斯的单调有界定理 34
1.4.2 柯西–康托尔的闭区间套定理 36
1.4.3 戴德金的分割定理 37
1.4.4 确界定理 38
1.4.5 海涅–博雷尔的有限覆盖定理 40
1.4.6 魏尔斯特拉斯的聚点定理 41
1.4.7 波尔查诺的致密性定理 42
1.4.8 柯西收敛准则 44
习题 1.4 44
第2章 函数极限及其计算技巧 47
2.1 函数的极限 47
2.1.1 一元函数的极限 47
2.1.2 一元函数极限的性质 52
习题 2.1 56
2.2 Rn 上的点集及多元函数的极限 58
2.2.1 Rn 上的点集 58
2.2.2 多元函数的极限 68
习题 2.2 72
2.3 上极限与下极限 73
2.3.1 数列的上极限与下极限 73
2.3.2 上、下极限的性质 76
2.3.3 函数的上、下极限 82
习题 2.3 84
2.4 阶的估计 85
2.4.1 基本概念 85
2.4.2 有关 O 与 o 的基本运算法则 89
2.4.3 几个基本方式及应用 91
习题 2.4 96
2.5 施托尔茨定理及其推广 97
2.5.1 施托尔茨定理 98
2.5.2 洛必达法则 104
2.5.3 特普利茨定理 106
习题 2.5 109
第3章 连续与微分 111
3.1 连续与一致连续 111
3.1.1 连续与一致连续的概念 111
3.1.2 连续函数的性质 114
3.1.3 一致连续的条件 117
3.1.4 运算法则 122
习题 3.1 125
3.2 导数、微分中值定理 126
3.2.1 有关导数的几个特性 127
3.2.2 可导与连续 130
3.2.3 微分中值定理及其推广 133
习题 3.2 138
3.3 不等式与凸函数 139
3.3.1 几个例子 139
3.3.2 凸函数 143
习题 3.3 153
3.4 方向导数、偏导数及全微分 154
3.4.1 方向导数和偏导数 154
3.4.2 全微分 158
3.4.3 混合偏导的一个问题 163
3.4.4 含有导数、偏导数式子的变量代换 165
习题 3.4 171
3.5 隐函数理论 173
3.5.1 压缩映像原理 173
3.5.2 隐函数定理 175
3.5.3 反函数组与坐标变换 183
3.5.4 雅可比行列式的性质 185
习题 3.5 191
第4章 级数 192
4.1 一致收敛性与累次极限 192
4.1.1 函数列的一致收敛性 192
4.1.2 累次极限 200
4.1.3 二元函数的一致收敛性 202
习题 4.1 206
4.2 等度连续 208
习题 4.2 213
4.3 数项级数和二重级数 213
4.3.1 数项级数 214
4.3.2 平均求和 228
4.3.3 二重级数 231
习题 4.3 238
4.4 函数项级数的一致收敛性 241
习题 4.4 255
4.5 三角函数系与傅里叶级数 257
习题 4.5 279
第5章 积分 282
5.1 黎曼可测集 282
习题 5.1 287
5.2 黎曼积分 287
习题 5.2 295
5.3 连续函数的积分 296
习题 5.3 314
5.4 积分计算举例 315
习题 5.4 327
5.5 广义积分 328
5.5.1 一元函数的广义积分 329
5.5.2 广义重积分 338
习题 5.5 343
5.6 含参数积分 345
5.6.1 含参数正常积分 345
5.6.2 含参数广义积分 349
5.6.3 含参数广义积分的性质 353
5.6.4 欧拉积分 357
习题 5.6 362
第6章 曲线积分、曲面积分、场论 364
6.1 曲线积分 364
6.1.1 曲线及其长度 364
6.1.2 第一型曲线积分 366
6.1.3 第二型曲线积分 368
习题 6.1 369
6.2 曲面积分 370
6.2.1 曲面及其面积 370
6.2.2 第一型曲面积分 373
6.2.3 第二型曲面积分 373
习题 6.2 378
6.3 几类积分之间的关系 379
6.3.1 两类曲线积分之间的关系 379
6.3.2 两类曲面积分之间的关系 379
6.3.3 平面线积分与二重积分之间的关系 380
6.3.4 空间曲面积分与三重积分之间的关系 383
6.3.5 曲面积分与曲线积分之间的关系 385
习题 6.3 387
6.4 场论 389
6.4.1 场的概念 389
6.4.2 梯度、散度和旋度 390
6.4.3 微分恒等式 396
习题 6.4 398
参考文献 399
鄂公网安备 42010302001612号 