数学大观园

1 数学是何物………………………………………………………………………… 1
1.1 众说纷纭的数学……………………………………………………………………… 1
1.1.1 大众眼中的数学………………………………………………………………… 1
1.1.2 影视作品中的数学……………………………………………………………… 2
1.1.3 数学人眼中的数学……………………………………………………………… 5
1.2 数学概观……………………………………………………………………………… 7
1.2.1 经典数学概观…………………………………………………………………… 8
1.2.2 现代数学概观…………………………………………………………………… 10
1.3 数学与哲学…………………………………………………………………………… 13
1.3.1 数学哲学的历史视角…………………………………………………………… 13
1.3.2 数学哲学的现代视角…………………………………………………………… 17
1.4 数学与文化…………………………………………………………………………… 20
1.4.1 文化视角下的数学……………………………………………………………… 20
1.4.2 数学的文化多样性……………………………………………………………… 22

2 自然数探秘……………………………………………………………………… 28
2.1 自然数趣话…………………………………………………………………………… 28
2.1.1 科幻中的名数…………………………………………………………………… 28
2.1.2 拉马努金数和水仙花数………………………………………………………… 29
2.1.3 怪兽数、缺8数和圣数………………………………………………………… 30
2.2 自然数史话…………………………………………………………………………… 33
2.2.1 从前有个数……………………………………………………………………… 33
2.2.2 数字神秘主义…………………………………………………………………… 41
2.3 数学的王冠…………………………………………………………………………… 47
2.3.1 完全数与梅森数………………………………………………………………… 47
2.3.2 亲和数…………………………………………………………………………… 49
2.3.3 勾股定理、勾股数和费马大定理……………………………………………… 51
2.3.4 斐波那契数……………………………………………………………………… 57

3 数宇的扩张……………………………………………………………………… 64
3.1 无理数的那些事儿…………………………………………………………………… 64
3.1.1 无理数的发现…………………………………………………………………… 64
3.1.2 什么是无理数…………………………………………………………………… 69
3.1.3 代数数…………………………………………………………………………… 72
3.2 虚数的故事…………………………………………………………………………… 77
3.2.1 虚数i引发“大海啸” …………………………………………………………… 77
3.2.2 虚数i的漫长接受史…………………………………………………………… 83
3.3 超复数及尺规作图…………………………………………………………………… 88
3.3.1 超复数…………………………………………………………………………… 88
3.3.2 尺规作图………………………………………………………………………… 91

4 微积分之旅(上) ………………………………………………………………… 97
4.1 极限的概念和运算…………………………………………………………………… 97
4.1.1 数列极限的定义和运算………………………………………………………… 97
4.1.2 函数极限的定义和运算……………………………………………………… 101
4.2 特殊极限…………………………………………………………………………… 108
4.2.1 无穷小………………………………………………………………………… 108
4.2.2 函数的连续性………………………………………………………………… 112
4.2.3 幂指函数的极限……………………………………………………………… 114
4.3 微分学……………………………………………………………………………… 117
4.3.1 导数的定义和求导公式……………………………………………………… 117
4.3.2 微分的概念…………………………………………………………………… 121
4.3.3 导数的运算法则……………………………………………………………… 124
4.4 微分学的应用……………………………………………………………………… 128
4.4.1 洛必达法则…………………………………………………………………… 128
4.4.1 函数的单调性和极值………………………………………………………… 130

5 微积分之旅(下) ……………………………………………………………… 136
5.1 积分的概念………………………………………………………………………… 136
5.1.1 不定积分的概念和公式……………………………………………………… 136
5.2.2 定积分的概念和性质………………………………………………………… 139
5.2.3 微元法及其几何应用………………………………………………………… 142
5.2 微积分基本定理…………………………………………………………………… 145
5.2.1 变上限积分和微积分基本定理……………………………………………… 145
5.2.2 初试啼声: 定积分的直接积分法…………………………………………… 148
5.3 积分的计算………………………………………………………………………… 150
5.3.1 分部积分法…………………………………………………………………… 150
5.3.2 不定积分的换元积分法……………………………………………………… 152
5.3.3 定积分的换元积分法………………………………………………………… 158
5.4 级数和微分方程初步……………………………………………………………… 160
5.4.1 级数初步……………………………………………………………………… 161
5.4.2 微分方程初步………………………………………………………………… 165

6 驯服无穷………………………………………………………………………… 167
6.1 微积分的先驱……………………………………………………………………… 167
6.1.1 言必称希腊…………………………………………………………………… 167
6.1.2 积分的酝酿…………………………………………………………………… 173
6.1.3 微分的酝酿…………………………………………………………………… 177
6.2 微积分的创立……………………………………………………………………… 182
6.2.1 牛顿的流数术………………………………………………………………… 182
6.2.2 莱布尼茨的无穷小算法……………………………………………………… 190
6.3 微积分的严格化…………………………………………………………………… 196
6.3.1 狂飙世纪……………………………………………………………………… 196
6.3.2 驯化“幽灵” …………………………………………………………………… 205

7 三大常数的秘密……………………………………………………………… 214
7.1 π的密码…………………………………………………………………………… 214
7.1.1 π的文化初体验……………………………………………………………… 214
7.1.2 π的计算史…………………………………………………………………… 216
7.1.3 π到底是什么………………………………………………………………… 227
7.2 黄金数φ和Φ ……………………………………………………………………… 230
7.2.1 数学中的黄金数……………………………………………………………… 230
7.2.2 天空中的黄金率……………………………………………………………… 235
7.2.3 绘画中的黄金分割…………………………………………………………… 241
7.3 e的故事……………………………………………………………………………… 243
7.3.1 无处不在的e ………………………………………………………………… 243
7.3.2 数学殿堂中的e ……………………………………………………………… 247
7.3.3 先有对数,后有指数…………………………………………………………… 251