丘成桐：数学史与数学教育

【编者按】

近日出版的《真与美：丘成桐的数学观》，集结了著名数学家丘成桐近半个世纪以来探讨数学和人文教育的系列文章，展现这位誉满世界的杰出数学大师的治学心迹与家国情怀、思维活力与人文底蕴。

丘成桐

数学史的内容，除了它肩负的历史意义外，也应当说明数学的有机发展，不只注意于数学本身，也要顾及数学的外延，要追寻数学发生在怎样环境之下，如何扩散出去。

先父谈哲学史的说法可用在数学史上，因此数学史的目的可归纳为三个：

一是求因。美国哲学家Walter Mavin在1917年出版的著作《欧洲哲学史》（The History of European Philosophy, Macmillan, 1917）中写道：“任何时代的哲学都是文明进程的产物，或是时代变迁的缩影。”数学思想的产生不是凭空而来，因此需要穷源溯流，阐明产生此种思想的原因。

二是明变。数学思想变化至繁，但有一定轨迹，所以需要找寻其发展的轨迹。

三是评论。我们要将各种数学思想加以客观的评价，对它们对当时及后代的影响、产生何种价值，作评价可以帮助学者发展自己的想法。

学以致用与中国数学

举个例子，我们约略谈谈中国数学史。从前人们总会谈到伏羲、隶首、河图、洛书这些传说。然而，真正重要的中国古代算学书籍是《九章算术》《周髀算经》和《孙子算经》，尤以《九章》为最重要。大略而言，此书非一时一人之作，成书当在汉初，刘徽在公元263年为之作注，已经谈到秦末汉初时张苍为之删补。而东汉郑玄、马续则传述此书。刘徽的注疏可能比原书更为重要，此书涉及二次方程、联立线性方程、勾股定理、圆与球之面积和体积，刘徽是第一个证明勾股定理的中国数学家。

《九章算术》

《孙子算经》大约为东汉人所作，这是记载“物不知数”的算经，率先给出中国剩余定理，这可说是中国算学史上最伟大的创作。这个定理从命题到应用，都由中国学者首先提出，其重要性影响至今。

刘徽以3为圆周率，至祖冲之（南朝人，公元429至500年）则算圆周率值在3.1415926与3.1415927之间，这确是一个重要的工作，其方法与阿基米德相同。以后唐朝有王孝通著《缉古算经》，谈到二次和三次方程，然而未提解法。

南宋和元朝期间（12至14世纪）则有李治、秦九韶、杨辉、朱世杰等杰出数学家。杨辉发现帕斯卡三角形定理，秦九韶发现霍纳算法，都比帕斯卡和霍纳早四五百年。总括来说，这一段时间数学以代数为主，尚有天元和四元术的发展。与阿拉伯和印度数学家应当有一定的来往，但需要更多的考证。

明清的数学与西方相差太远，无可观者。明末利玛窦和徐光启才开始翻译欧几里得《几何原本》前6卷。而中国学者虽然仰慕《几何原本》的推理方法，却无力吸取其精髓。到19世纪初叶，李善兰才将《几何原本》全部译出。

利玛窦（左）和徐光启

清朝数学家却花了不少时间，去整理中国数学古籍。一方面可以看到清代文字狱的影响，一方面也可以隐约看出学者心存“夷夏之分”，抗拒西方的思想。

当西方文艺复兴、百家争鸣的时候，明清政府却大力钳制思想。明成祖为了证明自己的正统，诛杀方孝孺，“天下读书种子，从此灭矣”。数学和有学问的数学家一直到近代，才得到比较多的尊重。

中国强调中体西用，以“拿来主义”吸纳了大量科学技术，但客观而理性的判断方法，即科学精神远未普及。“‘家有敝帚，享之千金。’斯不自见之患也。”这是今日中国数学尚不及西方的一个原因。

纵观中国数学发展，基本上尊崇儒家“学以致用”的想法，对应用科学背后的基本规律研究兴趣并不大。在庄子、墨子和名家的著作中，可以看到比较抽象和无穷逼近法的观念。

《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”但是这种观念在实际运算上没有表现出来，直到刘徽和祖冲之，才用这种方法来计算圆周率。《九章算术》的写作是用例子来解释数学，读者没有办法知道这些例子有多广泛，更不知道证明的来龙去脉。模棱两可的态度是其中的弊病。

在某种意义上，中国古代数学的主要活动，始终停留在实验科学的层次上，中国数学家对证明定理的兴趣不大。我们的文化强调人治的观点，以家庭、宗族为出发点，甚于考虑复杂的数学现象，可以用几条简单显而易见的公理来推导，这与希腊数学家的态度有显著的不同。

数学描述自然真理

毕达哥拉斯学派（公元前五百多年）以为天地万物都可以用数字来表示。他们率先指出假设和证明的重要性。在公元前300年，欧几里得的公理就清楚地指出，一切平面几何定理都可以由少数公理推出。这可能是欧几里得搜集了几百年来几何发展得出的结论。

欧几里得

欧氏公理影响了整个科学的发展。在物理科学上，引导了牛顿三大定律和现代的统一场论。在数学上，它使我们知道所发现的定理并非互不关联的事实，它们都可以由几条简易公理来推导。希腊学者在两千多年前已经为科学文明奠定了牢固的基础。

数学家历来对欧氏公理有很浓厚的兴趣，其主要的原因是欧氏公理找到了平面几何的精髓。以简御繁，才能搞清楚我们创造出来的数学概念的真正意义。中国画家画山水画，也是想用简单的笔法将画家心中的感觉表现出来。在很少几个公理的前提下推导出来的结果，才能表达这些公理的内蕴意义。这个看法有如文学家作诗写文，干净利落，从简洁处看到作品的意境。近代数学的发展也往往在极为复杂的数学问题中，找到它精华的一部分来独立发展，完成一个可以概括很多现象的结构。中国数学家不大熟悉这样子的手段，堂庑不够宏大。

在数学每一个重要的环节都搞清楚后，就需要考虑它们交叉的意义和内容。就如一个交响乐团由不同的乐器和音乐家组合而成，由一个掌控全盘的音乐家来指挥。文学创作里的《红楼梦》也是如此：由很多不同的环节组合而成，这些环节有诗、有词、有祭文，各有重要的特色，而又环环相扣。在数学上，也是如此。数学家证明了不同而又重要的定理。这些定理可能都有它们的重要性，但真正成为一个数学主流的学问，必须将这些定理整合起来，成为一个有完整哲学思维做背景的理论，影响才会深入，这种学问才会有价值，能够流传后世！在数学发展史上，能够做到这样的学问的，除了牛顿发现微积分外，以后欧拉、高斯、黎曼、希尔伯特、庞加莱、外尔、韦伊等人，都能够做到这一点。我们要欣赏他们的工作，最好从他们的历史背景，来找寻他们做研究的踪迹。

还有一个有趣的事实，中国数学家几乎从来不用反证法来证明定理。大概原因：反证法虽然可以指出定理的真实性，却无法得出实际的应用。在欧几里得证明存在无穷多个素数时，西方数学家已经知道反证法的威力。古代中国学者对逻辑的运用远不如西方，对纯粹科学真理的兴趣也不如西方。

希腊数学家对数字、对几何图形有无比的热情。毕达哥拉斯以为整数和有理数可以决定天地的一切，因此研究弦的长度和音调的关系。当他知道直角三角形两边长等于整数一，斜边却是无理数时，大为失望，传说他学派中有人自杀！这是因为毕氏学派是一个哲学团体，他们有一套描述宇宙的想法，但又不得不接受严格推理的结果。但是数学家接受了无理数的存在，并在它的基础上，发展了数学分析这门学问。古代的中国数学家不在乎无理数这种概念，要到20世纪才发展数学分析。现代电子计算机的发展，却大量地运用数字的威力，正好印证毕氏学派万物皆数的想法。

阿基米德研究流体静力学，他在洗澡发现浮力原理时，高兴地跑到街上大叫“Eureka, Eureka（我找到了，我找到了）”。当时他忘记了穿衣服。这种为科学而无比兴奋的心情，恐怕在今日中国的科学界很难找得到了。我记得小时候听我的中学老师黄逸樵讲说阿基米德这个故事时，自觉“大丈夫，当如是”。

我们看伟大的数学家牛顿、莱布尼茨、欧拉、高斯，他们对数学的高瞻远瞩，令人钦佩。他们有强烈的好奇心，为找寻科学真理而努力。他们不在乎他们的研究对政府或对社会有何帮助，也不见得很在乎经费和奖金。但是他们开创的数学，不但流芳百世，也是近代西方文明的支柱。

我从前阅览欧拉的著作，他个人写了60多本书，大部分都是开创性的工作。他有13个小孩，一边抱小孩一边著作，到晚年时更瞎了眼睛。他的创作，无论在纯数学或应用数学方面的贡献，实在是极尽丰满。

完美复数与现代数学

明朝初年，欧洲文艺复兴之时，在科学界一个极为重要的问题，就是求解三次和四次方程式。这看来是小事，却是数学家第一次理解到复数的重要性。我们来看二次方程：x2+1=0。很明显，只要x是实数，方程左边一定大于零，所以方程无解。对中国古代数学家来说，似乎没有理由去继续讨论这种没有解的方程。但是欧洲数学家追求数的完美性质，就假定上面这个二次方程有一个非实数的解，称之为虚数，同时要求这个虚数和普通实数混合在一起，同样做加减乘除，得到所谓复数域。他们因此得到一个奇妙和惊人的发现：虽然有的多项式没有实数解，但是所有多项式都有复数解，同时解的个数刚好是多项式的次数。

从方程的角度来说，这个复数域是完美的，也是古希腊哲学家所乐见的。很多中国古代数学家大概认为我只想知道现实界的解，不想研究这种虚无的复数域。但是欧洲数学家发现在研究自然界的数学现象时，复数域不但会增强我们理解实数的能力，它已经成为数学的本体。欧拉用复数来解释三角函数，傅里叶用它来解释波动现象。在数论中，高斯、黎曼和之后的学者，广泛应用复函数和复数域深入研究素数的性质。事实上，用一句简单但不算夸张的话，中国古代数学，甚至可以说中国古代科学，落后于西方的一个因素始于复数理论在西方的萌芽。

要求数学体系或者其他科学体系完备化的想法，根植于希腊哲学，影响到今日数学的发展。韦伊和格罗滕迪克建立了一套完备的代数几何结构，初看时，极度玄虚，结果却极大地推动了数论和几何的研究。这是一个追求完美而有大成就的极好例子。我的老师陈省身先生刚开始研究示性类时，想解释苏联数学家庞特里亚金在实纤维丛的工作。结果发现在复纤维丛时，理论更加完美，完成了陈氏类的工作。从这点就可以看出追求完美的哲学观点的重要性。

中国学者少有注意数学发展的历史和支持数学的基本哲学，大部分萧规曹随，解决一些问题而已。但是理论如何叫作完美？它有它的客观性，也有它的主观性。很多学者发展了一套长篇的理论，看似漂亮，却是越来越玄虚，结果无以为继。这是和自然界的真与美愈来愈脱节的缘故。当年我和我的朋友们发展几何分析，就坚持我们必须要有理论，要有长远的看法。但是在这个基础上，我们的理论必须要有能力来解决具体的问题。一般来说，这些问题必须是自然界产生的问题。

学问大流，真诚为源

今日中国科教兴国、科技创新，必以数学为基础。数学在现代社会的影响，可谓无远弗届，上至天文、物理、生物，下至网络、社会人文，都和数学有关。可以预见的是，21世纪大国的竞争，必和科技发展息息相关。谁能掌握科技上流，谁就主导经济和军事的走势。但是科技的上流，却不是解决几个问题就可以完成。我们要有前瞻性的胸襟和理想，才能引领风骚，领导世界。

要做到这一点，我们需要深思我在前面说的求因、明变和评论，才能了解到学问的大流，才能知道如何去赏析数学的真实意义。数学从自然界、从各种学问吸收真和美的真髓。没有深厚的文化和感情，很难做到这一点。既要执着于中国儒家以人为本的精神来看数学，即数学家需要承担起发展数学的责任，也需要接受希腊哲人对真和美追求的狂热精神。当读历代大数学家的生平和研究方法时，我们会知道数学思想的始源。因此在接触到美丽的自然现象时，会有自然的反应，可以开创新的思维。中国不少学者太注重名和利，一生的目标不是做院士，就是得到政府赏赐的奖金和名誉，而并非学问的精进。

孔子说：“吾未见好德如好色者也。”在今日的社会，除了好色之外，还当加上好名和好利。然而孔子也说：“后生可畏，焉知来者之不如今也？”我相信中国的青年是有为的，我们应该为他们树立一个好的榜样，历史上的伟人都可以作为他们的典范。

《中庸》说：“唯天下至诚，为能尽其性；能尽其性，则能尽人之性；能尽人之性，则能尽物之性；能尽物之性，则可以赞天地之化育；可以赞天地之化育，则可以与天地参矣。”真诚是学问之道的不二法门。愿我们能以谦虚真诚的态度，来追随数学先贤们开创的道路。

《真与美：丘成桐的数学观》，丘成桐/著，江苏凤凰文艺出版社·胡杨文化，2023年8月版。