第十五章 数学、天文学、气象学、地学 第一节 数学

　　数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。原始数学知识是从人类生产和生活的需要中产生的。由于农业和手工业规模的扩大，货物交换的繁荣，尤其是丈量土地、建筑房屋、兴修水利、制造器皿、制定历法等实践活动，迫切需要相应的数学方法和计算技能，从而推动了数学的发展。从远古到春秋战国时期，在中国数学史上具有深远影响和世界意义的杰出成就，主要有下列几项：（1）创造十进位置制记数法，（2）发明算筹和筹算，（3）发明规矩，（4）发现勾股定理和创立勾股测量方法，（5）创立早期的数学教育制度。

　　 数学的萌芽

　　远古上古时代，人们最初仅能分辨多少和大小，而数量与形状是与具体事物联系在一起的。经过长期反复的实践，人们逐渐积累了大量关于事物数量和物体形状的知识，终于从事物的具体属性中，抽象出纯粹的数与形的原始概念，实现了认识史上的一次巨大飞跃。传说“上古结绳而治，后世圣人易之以书契”①，由绳结多少表示事物数量的多少，这是文字产生以前的原始记数方法。“契”指的是刻划。在仰韶文化及年代稍晚的马家窑文化等遗址中出土的陶器上，有五十多种刻划符号，其中如Ｉ（1）、Ⅱ（2）、Ⅲ（3）、■（4）、■（5）、∧（6）、十（7）等，很可能是我国最早的记数符号。从远至河套人的骨器到仰韶文化的彩陶，大量器物上绘有直线、折线、平行线、三角、弧、圆、方、菱形、五边形、六边形、各种对称图形以及一些相当复杂的几何图案；许多器物制成柱、锥、球等规整的几何形状；在西安半坡遗址，发现有圆形和正方形房屋基地，因此当时必定存在某种确定方圆的简单方法。这些都反映出远古人们已经有了一定程度的抽象形体概念和粗浅的几何知识。

　　 文字记数法

　　文字产生以后，相应出现了明确的十进制记数法。在殷周甲骨文卜辞里，已有表示基本数目的专用文字：—（1）、＝（2）、■（3）、■（4）、Ⅹ（5）、■或∧（6）、十（7）（8）、九（9），｜（10）。100是“■”或“■”，1000是“■”，10000是“■”。大于10的自然数采用十进制。记多位数用合文，如■表示40，■■■■表示2656。甲骨文记录的最大数字是三万。在西周铜器铭文中，个别记数文字，虽然有所变化，但整个记数系统仍然采用十进制。汉代以后，记数文字已经与现代基本一致了。此外，殷商就已使用的60循环的干支纪年纪日法，一直沿用至今。在《周易》中，用阳爻（—）和阴爻（—）两种符号排列而成的八卦，六十四卦，体现了二进制的思想，也得到了自莱布尼茨（G·W·Leibniz，1646—1716）以来许多学者的高度评价。

　　 算筹和筹算

　　算筹和筹算的发明，是中国古代数学的重大成就，其出现不会晚于西周。算筹是一种特制的小竹棍，也有用木、骨、铁等材料制做的，在中国古代曾长期作为记数和计算的工具。算筹一般都盛放在算子筒里，出外时则装在一个特制的丝袋（称为“算袋”）里，佩带于使用者的腰部。《汉书》记载：“其算用竹，径一分，长六寸”①，《隋书》则说：“其算用竹，广二分，长三寸”②，这可能说明算筹随着时代不同而变短变小，这样使用起来更加方便。1971年8月，陕西千阳西汉墓中出土了骨质算筹。这些细长圆柱形的算筹，两头齐整，粗细比较均匀，大多长度为13.5厘米，直径平均为0.3厘米，按古尺折算，其形制与《汉书》记载基本相符。用算筹表示数字，有两种摆法：

　　

　　

　　算筹记数法则是“一纵十横，百立千僵。千，十相望，万，百相当。……”①，把同一个数码放在十位就代表几十，放在百位就代表几百，并且纵横两式交错放置，以免混淆。用空位表示零。如插图上筹式 表示数字1971。这是很完备的十进位置制记数法。这种记数方法简单明确，一目了然，易于掌握，用一些竹筹即可表示任何数字，其优越性是十分明显的。到了汉代，还出现了用红色算筹表示正数和用黑色算筹表示负数的方法。世界上一些文化发达较早的国家也分别采用过十进制和位置制。例如，古巴比伦人采用位置制，但用的是六十进制。中美洲的马雅人也知道位置制的道理，而用的是二十进制。在罗马数字中，5的符号是Ⅴ，左边放上1，是4（Ⅳ），右边放上1是6（Ⅵ）。10的符号是Ⅹ，而Ⅸ表示9，Ⅺ表示11。至于百、千、万又各有符号。用这种记数法表示较大数目相当复杂。古希腊用27个希腊字母相互配合才能表示1000以内的数目，也非常繁琐。古埃及使用的记数法是十进制，但不是位置制。既用十进制又用位置制的记数法，以中国为最早，据现有资料，一直到公元六七世纪，印度才采用十进位置制记数法，而其他国家更要晚得多。十世纪后，印度的十进位置制数码经阿拉伯传入地中海国家和西欧各国，并被称为“阿拉伯数码”。实际上，现在世界通用的十进位置制记数法很可能起源于中国。

　　用算筹进行计算，叫做筹算。算筹和筹算究竟产生于什么时代，由于缺乏资料，现在还无法肯定。甲骨文中有些记数文字类似于算筹的摆法。西周时期，数学是贵族子弟必修的科目之一。而早在春秋时期，乘法表（即古代乘法口诀，从九九八十一开始，到一一如一为止，亦称“九九”）就已经成为十分普通的常识。根据这些情况来看，算筹记数和简单的四则运算，很可能在西周时期就已产生了。一直到十三世纪的元朝，珠算法逐渐推广之前，筹算制度沿用了两千多年。中国古代数学的许多辉煌成就，正是在筹算的基础上取得的。

　　 规矩和勾股定理

　　我国很早就发明了简单方便的绘图工具和测绘仪器——规和矩。《史记》记载夏禹治水时“左准绳，右规矩”①，反映了规、矩、准、绳作为测量和绘图工具在兴修水利时所受到的重视程度。古代的“规”相当于圆规，“矩”类似木工用的曲尺。在甲骨文中就已经有了规和矩两个字。“规”字是手执规画圆的样子（■），“矩”字写作匚。汉代的许多画象砖石，绘有伏羲执矩，女娲执规的图象，从中可以看出古代规和矩的基本形制。在与“矩”有关的记载中，最重要的命题就是勾股定理（直角三角形的两条直角边平方之和等于斜边的平方）。勾股定理是我国早期数学史上最重大的发现之一。《周髀算经》记载，西周初期周公与商高讨论天文学问题时提到“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五”，即勾股形三边之比为3∶4∶5，这是特殊形式的勾股定理。此外，该书还提到“环矩以为圆”的性质。《周髀算经》约成书于公元前一世纪，时代较晚。因此，有人怀疑该书所记周公与商高问答的可靠性。当然，有关勾股定理的发现时代问题，还需要更多的佐证。但联系到中国远古时代水利与建筑工程的复杂程度与所需的测量知识，那么，我国很早就发现了一般形式的勾股定理，这是勿庸置疑的。规可以作圆和弧，矩可以作直线和直角。据《周髀》记载，矩在测量方面的用法是“平矩以正绳，偃矩以望高，复矩以测深，卧矩以知远”①，即利用矩的不同摆法根据勾股形对应边成比例的关系，可以确定水平和垂直方向，测量远处物体的高度、深度和距离。

　　 数学知识的丰富和提高

　　春秋战国时期，百家争鸣，学术繁荣。废除井田，履亩而税，需要丈量土地面积，建筑城堡，兴修水利，计算人工，需要知道体积和比例分配，制订历法，制造器皿，需要认识部分与整体关系和掌握分数概念。因此，数学也获得了相应的发展，特别是更加充实了有关分数、比例、面积和体积等方

　　

　　

　　谓之枚’②，即“枚”等于十分之一寸；“兵矢、田矢五分，二在前，三在后”③等。据记载，齐国的标准量器“鬴”，

　　

　　

　　不同，并且也不全是十进制。一直到秦始皇时才进行统一度量衡的工作，并基本上采用了十进制的度量衡单位。在《考工记》里，还出现了初步的角度概念。其中以“倨勾”二字表示角，这类似于用“多少”表示数量，用“长短”表示长度。“倨”是钝角，“勾”是锐角。直角叫做“倨勾中矩”或简称“一矩”，等于90°。“宣”相当于45°，“■”相当于67°30′，“柯”相当于101°15′，等等。此外，《考工记》中还提到：筑氏为削，“合六而成规”，“削”是圆弧形的刀，六件“削”可以拼成一个圆周；天子之弓，“合九而成规”；诸侯之弓，“合七而成规”。这些都说明对于由矩发展而来的角度概念，已经有了新的认识。公元前六世纪，楚国令尹筑沂城，晋国士弥牟设计修建成周城，都测算过城墙的长度、宽度和高度，计算了城墙和沟洫的土石方量、工程期限、所需的人工物料、劳动力往返里程及需用粮食数量等。如《左传》记载，“士弥牟营成周，计丈数、揣高卑，度厚薄，仞沟洫，物土方，议远迩，量事期，计徒庸，虑材用，书糇粮，以令役于诸侯，……①。由于整个工程计划周密，分工明确，因而很快完成了筑城任务。显然，这一时期已经掌握了有关简单几何形体的体积计算和解决比例分配问题的数学方法。

　　 数学思想的深化

　　在这一时期，墨家、名家及其他学派，还总结和提炼出许多抽象的数学概念和合乎逻辑的命题，反映了这一时期数学思想的深化和力图进行理论研究的尝试。例如，在《墨经》中载有墨家给一些几何概念所下的比较严格的定义：圆，“一中同长也”①；平，“同高也”②；直，“参也”③，用三点共线定义“直”；同长，“以正相尽也”④，定义线段相等；中，“同长也”⑤，定义线段中点；方，“柱隅四匝也”⑥定义正方形或矩形。此外，《墨经》中还有关于点、线、面、体及它们之间相互关系的说明。墨经中还提出，“一少于二而多于五，说在建位”⑦，1比2小，但却比5大，其原因在于数位的不同，这里显然指的是位置制记数法。稍后于墨子的庄子，记述了惠施等人的学说，其中如“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一”⑧，涉及到无穷的概念，说明名家对于无穷大和无穷小已有较深刻的认识。在《庄子》中，还记载了辩者公孙龙提出的命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，就是把一根一尺长⑨的木棒，每天截取前一天所剩下的一半，如此下去，永远也不会取完。这相当于

　　

　　

　　现在讲授数列极限时仍然常常被引用。上述比较严格的定义，简单的极限概念和其他数学命题，是在大量感性认识的基础上总结和抽象出来的理性认识，虽然还比较粗糙，带有一定的思辨性质，也没有形成严密的逻辑体系，但无疑都是精彩宝贵的数学思想。可惜的是，墨家等学派这种建立定义和命题，重视抽象性和逻辑严密性的新思想和新尝试，后来没有得到很好的继承和发展。中国数学沿着另外一条道路，逐步形成了一套以算法为核心的数学体系。

　　 数学教育

　　我国数学教育有着悠久的历史。早在西周时期，数学和数学教育就在一定程度上受到统治阶级的重视，并且建立了比较正规的数学教育制度。据《礼记》记载，周朝规定“六年（6岁）教之数与方名，九年教之数目，十年出就外傅（教师），居宿于外，学书计”①。《汉书》记载，“八岁入小学，学六甲、五方、书计之事”②，说明当时的贵族子弟接受初等教育，从六岁或八岁开始学习数（shǔ）数（shù）和辨认方向，九岁学习干支纪日法，十岁学习书计，其中的“计”是指一般计算能力的培养，“书计”大致相当于现在的语文和算术。当时还设有称为“保氏”的官员，专门负责对贵族子弟进行教育。数学是“六艺”（礼、乐、射、驭、书、数）之一，成为必须学习的一门课程，这门课程包括九项内容，称为“九数”。在周朝，还没有专门掌管天文历法的官员“冯相氏”和“保章氏”，以及掌管财政统计的官员“司会”，军队中也有负责武器、粮饷等收支计算的官员“法算”，这些人当然具有相当程度的数学知识。当时还把世代相传专门负责天文历法和通晓数学的人，称为“畴人”也就是早期的天文学家和数学家。周朝衰落以后，“畴人”子弟分散到各诸侯国，私家讲学也逐渐兴盛起来，对各地区的数学普及和发展，起了一定的推动作用。春秋战国以后，数学常识为越来越广泛的人所掌握，“能书会计”（能写会算）成为介绍和鉴定官员才能的一项重要内容。

　　

　　①《易·系辞》。

　　①《汉书·律历志》。

　　②《隋书·律历志》。

　　①《孙子算经》。

　　①《史记·夏本纪》。

　　①《周髀算经》。

　　②《考工记》。

　　③《考工记》。

　　①《左传》，昭公三十二年。

　　①《墨子·经上》。

　　②《墨子·经上》。

　　③《墨子·经上》。

　　④《墨子·经上》。

　　⑤《墨子·经上》。

　　⑥《墨子·经上》。

　　⑦《墨子·经下》。

　　⑧《庄子·天下篇》。

　　⑨《庄子·天下篇》。

　　①《礼记·内则篇》。

　　②《汉书·食货志》。