对波动性和概率树的简单介绍

通常所谓的不确定性只是一种感觉，很难量化。然而股票价格的不确定性从某种意义上来说是可以精确地测量的，方法有两种：1.可以计算历史价格的一个时间序列的波动性；2.可以通过期货价格估计出预期波动性，这至少对于存在期货交易的证券来讲是可行的。从技术上讲，波动性指的是某段时期内收益的标准差，测量的是收益相对于其平均值的离散程度。

比如，在1999年全年，美国运通、第一资本和普罗威登的股票价格变化不大，年底时股票价格和年初相差无几。然而从每天的情况来看，波动性还是非常明显的（图2.2）。相对来讲，普罗威登公司和第一资本的股票价格波动得更为剧烈，这并不奇怪，因为这两家公司规模比较小，多元化程度相对较低，并且以次级贷款借贷者为主要目标客户，因而如果经济增速放缓客户无力还贷，这两家公司的风险就会更高一些。次级贷款也使得这两家公司受到更为严格的监管，面临着更高的政治风险，因为消费者权益保护团体认为公司费率太高，有盘剥经验不足客户的嫌疑。

历史波动性表明了。在某一个特定时期内，投资者们是如何对有关公司、行业和整体经济的信息作出反应的。图2.3是普罗威登公司1999年作出反应的。图2.3是普罗威登公司1999年的。图2.3是普罗威登公司1999年股票价格每日变化的柱状图。在大多数日子里，普罗威登公司的股票价格波动幅度都没有超过2.5%，但有那么几天，股票价格暴涨超过了10%。计算每日股票价格变动的方差得出的结果在4%左右。想象一下，用一条正态曲线覆盖在柱状图上，大约2/3的每日收益波动与正态曲线之间的差距应该在+4%到-4%之间，这与正态分布下2/3的可能出现的结果应该落在+/-1个标准差范围之内的说法是一致的。按年来说，这一波动性应该等于大约50%的标准差。当然，我并不是在说正态曲线是描述普罗威登公司或任何其他金融时间序列的准确分布曲线，但正态曲线的确是总结历史数据的一个简单有效的测量手段。

证券的波动性也可以通过场内期权进行估计。波动性是期权定价模型的一个关键输入值，而该模型的其他输入值都可以通过观察得到（利率、行权价、期权的期限、证券的现价），因此我们就可以通过计算期权现价的方法来倒推出波动性的值。如果我们逐一检视2000年春季的计算结果就会发现，普罗威登公司通过期权所得出的波动性为50%的标准差，这与上面测量到的历史波动性数据非常接近，表明投资者们并没有预期公司的风险状况会有大的变化。

2001年春季，普罗威登公司的股票价格在45美元左右。用概率的方式进行思考，就意味着不要把股票价格当成一个单纯的数字，而是在某一个价格区间内波动。为了了解这种思维方式，我们先画一个非常简单的有两个分的概率树，如图2.4所示。在这个概率树的第一个分上，我们预计股票价格会攀升到74美元，概率为38%。在第二个分上，预计股票价格会跌落到27美元，概率为62%。这两种可能的情形的期望值可以通过如下方式计算：把每个分上的股票价格乘以概率，然后把二者相加，即：38%×74美元+62%×27美元=45美元，这就是股票的现价。按照设计，这两种情形的标准差为50%，与当前的波动性相同。我用二项式模型（一个非常常见的期权估值模型）来选择这些数值，用于说明用概率方法考虑股价时，其中隐含的50%的波动性。

本书提供了几个工具来帮助大家在复杂情形下进行思考，概率树就是其中之一。概率树也被称为决策树，是用图形来表示不确定情形的一个基本工具。概率树可以只有1个节点，2个分，也可以有多个节点和分。最基本的要求是，各分之间必须是互斥的，并且所有分加在一起要代表所有可能出现的结果，也就是说，概率的和是100%。对于节点多于1个的概率树，一般我们会把最重要的变量放在第1位（也就就是最左边），或者在某些特殊情况下，把最有可能较早地解出来的变量放在第1位。

概率树是从所谓的“影响图”发展而来的，也称做“贝叶斯网络”，是用图形来表达因果关系的一种方式。企业战略家经常通过阐释多种不同的情形来帮助决策者，在面对未来的多种可能时打破常规进行思考。这与我们使用概率树有些类似，但也有一个重大的不同。战略家并不需要为不同的分赋予一个概率值，因为他们的主要任务就是向决策者说明除基本情况之外还有其他的可能性。相对而言，我们要特别注意应用概率进行思考，因为对于投资者来说，最重要的事莫过于深入地了解各种不同的可能性。

有一些投资者会把概率树作为一个日常使用的工具。如那些打赌合并或并购结果的套利者，会利用概率树来分析交易达成或破裂的各种结果，并以计算各个分所得的期望值为基础作出决策。其他的投资者，则更多地关注不同可能性的上侧风险和下侧风险，而并不使用概率树这个工具。

对于那些与对投资结果关系重大的问题，我都会利用概率树进行分析。关注重大问题可以避免大量不重要的变量带来的噪音。最理想的情况是，概率树要尽可能简单，用尽可能少的分来厘清主要问题。