最后，通过对普罗威登公司的财务状况的评估，我发现实际情况很可能比投资者们所意识到的更糟。公司的现金流已经开始出现吃紧的迹象。在新的营销限制的情况下，通过与高管进行访谈我发现他们并没有切实可行的计划来应对可能出现的收入下降。于是我把普罗威登公司商业模式遭遇窘境的可能性调整到75%，而在之前的经过市场校准的模型中该数值为50%。

在对概率树进行了如上调整之后，得出普罗威登公司股票价格的期望值为29美元，这比当时45美元的市场价格要低很多（图2.7），而且各种可能出现的情况之间的波动性暴涨到100%。可以肯定地说，我并不知道最终会发生哪种情况，但就我的研究来看，普罗威登公司股票的风险比投资者所设想的要大，而且很有可能最终股票价格会比投资者所设想的要低。

概率树的其他应用

在结束普罗威登公司的故事之前，我们先来回顾一下概率树其他的一些用途。

识别非对称的结果

了解到各种可能发生的情况的一个好处就是，分析师们可以据此识别出非对称的结果。在我们所画出的普罗威登公司的概率树中，下行的可能性比较大。在图2.7中我们看到，出现最差的情况的概率是33.8%，相对来看，出现最好的情况则仅为3.8%。这种错配是我们所作假设（信用卡行业经历亏损周期的可能性以及普罗威登公司的商业模式将受到考验）的一个函数。

此类非对称性对于估值有着非常重要的意义。正的非对称性意味着概率树上侧分的可能性大于下侧分的可能性，换句话说，就是上侧分的估值比下侧分的估值更加远离平均值。正的非对称性包括公司以显著溢价被收购的可能性，或者是运营杠杆的一种反映，在这种情形下，收入会增加得更快，利润也会更高，于是收益得以大幅增长。从理论上来讲，投资者应该对拥有正的非对称性的公司的股票付出更高的价格，因为可能性是向上侧偏斜的。同样地，投资者们应该对拥有负的非对称性的公司的股票付出更低的价格，这样就可以有效规避下侧风险。

这种非对称性的数学基础是简森不等式（Jensen’s inequality），这一不等式是以丹麦的数学家约翰·简森（Johan Jensen）的名字命名的。简森不等式可以通过图示非常直观地进行阐释，见图2.8和图2.9。在图2.8中，我们把一个虚拟的公司的价值表达为收入增长的函数，在这种情况下，该函数是凹的，也就是说收入增长的上升总会带来股票价格更大幅度的上升。这有可能是真的，因为这家虚拟的公司拥有的成本结构比较固定，从而销售的增长就带来了利润的上升。或者也可能是股票价格和公司的基本面之间存在着某种正反馈效应；比如较快的收入增长可能会令投资者们确信公司会在某一利基市场占据主导地位，这样该公司不但获得了先行者优势，其收益也会更加具有可持续性。

在一个充满不确定性的世界里，分析师们必须要考量不同的收入增长率（在图中用A和B来标记）对应的各种不同的情况，以便尽量包括各种可能出现的结果。但是，简森不等式告诉我们在得出结论的时候要小心谨慎：如果我们把增长率A和增长率B的平均值作为输入值，得到的股票价格要比根据增长率A预测的股票价格和根据增长率B预测的股票价格的平均值要低。通过前一种方法得到的股票价格约为8美元，而后一种方法得到的股票价格约为12美元。如果市场并不确定哪一种收入增长会最终成为现实，那么与当前收益相比，理论上该股票将溢价交易。此外，因为函数向上弯曲，收入增长越高，股票价格的波动性就会越大，类似黑天鹅的极端结果就有可能出现。在第7章中讲述万事达公司IPO的故事的时候，大家还会看到这一图示。

风险因素也可能使得函数向下倾斜，如图2.9所示。在这种情况下，如果某一问题持续恶化并产生严重后果，就会对股票价格产生加速下降的压力。如果信用损失对收益造成的削弱足以使得债务投资者对股本的缓冲垫作用重新评估，以免受到破产的威胁，这种情形就有可能发生。那时债务投资者可能会要求公司发的新债有更大的利差，这会对公司的收益和股本价值带来更大的压力。随着信贷损失的上升，股票价格就会加速下降，并且波动性会越来越大，这就是反馈效应产生极端结果的一个范例。

注：以上内容图略，图片内容请参考原图书