正文

迷上代数的游戏

现代物理学开创者和奠基人:爱因斯坦 作者:刘明山 著


迷上代数的游戏

小爱因斯坦的确是一个早熟的、聪慧的孩子。当同龄的孩子们还在盲目地认可一切他们可感知的对象时,他却能感受到一种无法看见的力量。而真正促使爱因斯坦对超感官世界发生浓厚兴趣的是数学。

爱因斯坦在上中学二年级时,他的雅客布叔叔说:代数是一门有趣的科学,解代数题就好像一场狩猎活动,就是要捕获猎物,无论它如何深藏不露,猎人也有办法通过各种已知的条件和线索,一步一步将它搜寻出来。

爱因斯坦很快迷上了这门有趣的狩猎游戏。他经常撇开常用的方法,发挥自己的想象力,找到更简便、更新奇的途径,把猎物更快地捕捉到手。

雅客布叔叔还经常拿出一些更奇妙、更难解的题目来试图难倒他。

每逢爱因斯坦经过深思苦想终于把狡猾的猎物寻找出来的时候,他都会感到一种莫大的快乐。

爱因斯坦升入三年级,快要开始学习几何学这门新课了。雅客布叔叔又拿起几何课本对他说:

“比起代数来,几何是一门更高智慧的学问,是一种对人的智力的更大考验。”

雅客布叔叔随手扯过来一张稿纸,在纸上刷刷几笔,画下了一个直角三角形,然后在三角形的三个顶角上标上了A、B、C三个字母。他问爱因斯坦:“你仔细看看,这个直角三角形的三条边相互之间有什么关系?”

爱因斯坦看了半天,觉得这三条边好像差不多长,看不出它们之间有什么关系。

雅客布叔叔又在那张纸上写下了一个公式,然后他对爱因斯坦说:

“这个公式的意思就是说:直角三角形的两个直角边的平方和,等于斜边的平方。”

爱因斯坦对这个三角形看来看去,觉得对这个公式有些怀疑。这三条边明明差不多长嘛,怎么会有这样的关系呢?他又用手指当尺,在图上量来量去。

雅客布叔叔笑着说:“孩子,不用这么去量了。这个公式对所有的直角三角形都适用,无论它们的形状、大小如何变化,这三条边的关系都不会变。这个公式已经经过了严密的证明,是绝对不会错的。这就是几何学上有名的毕达哥拉斯定理,也正是这本教科书里的定理之一。毕达哥拉斯是生活在两千多年前古希腊的一位大数学家,这个定理是他第一个证明出来的。孩子,既然两千多年前的古人都能证明这个定理,你为什么不也试一试呢?”

叔叔的这个建议大大激发了爱因斯坦的好奇心和好胜心,他果真决心要来试一试。

爱因斯坦真的来证明毕达哥拉斯定理了。一连几个星期,他完全沉浸在这个他过去从未接触过的几何学迷宫之中。

最后,他终于看出了:

对直角三角形的三条边的关系起主要作用的是其中的一个锐角。他自己做了一些合理的假设,最终把这个定理证明出来了。

当他把自己的证明拿给雅客布叔叔看时,雅客布叔叔喜出望外,他从来没有想到过,这个12岁的孩子会真的把著名的毕达哥拉斯定理独立地证明出来。

几天以后,雅客布叔叔把自己珍藏了多年的《平面几何学》送给了爱因斯坦。

雅客布叔叔告诉爱因斯坦,这是平面几何学的创始人、古希腊的大数学家欧几里得写的第一本平面几何学书,这是一本人类的智慧之书。

爱因斯坦捧着这本书,跑回他自己的小屋里,如饥似渴地阅读了起来。

读完这本小册子,他的灵魂仿佛经历了一场地震:

欧几里得平面几何学就建立在几条简单得不能再简单、明白得不能再明白的人所共知的“公理”上:

两点之间直线最短。

两条平行线永远不会相交。

从一条直线外的一点,只能引一条垂直线与它相交。

三角形三个内角之和等于180°。

而就从这些简单的公理出发,发展出一个又一个新的推论,推导并证明出一个又一个新的定理。从新的定理再推导出新的定理,一层又一层,就如同一个倒置的金字塔,从一个点出发,发展成一整座宏伟的欧几里得几何学大厦。

书中精彩的推论和定理比比皆是。

这些推论和定理,当然并不是显而易见的,但却可以非常明确地把它们证明出来。对于每一条推论和定理,书中都提供了几种不同的证明过程。无论哪一种,都那么严密、精确,不容人产生丝毫怀疑。

爱因斯坦在《自述》中说:

12岁那年,我又经历了另一种性质完全不同的惊奇:

这是在一个学年刚刚开始的时候,我得到一本关于欧几里得平面几何的小书。这本书里有许多断言,比如说,三角形的三个高交于一点,它们本身虽然并不是那么显而易见的,但是却可以很可靠地加以证明,以致任何怀疑似乎都不可能。

这种明晰性和可靠性,给我留下了一种难以形容的印象,至于说不用证明就得承认的公理,这件事并没有想象中的那样使我不安。如果我能依据一些在我看来是毋庸置疑的命题来加以证明,那么我就完全心满意足了。

我记得,在这本神圣的几何学小书到我手中以前,曾经有位叔叔把毕达哥拉斯定理告诉我。

经过艰巨的努力之后,我根据三角形的相似性成功地“证明了”这条定理;当时我觉得,直角三角形各边的关系,“显然”完全决定于它的一个锐角。

在我看来,只有在类似方式中不是表现得很“显然”的东西,才会需要证明。而且,由于几何学研究的对象,同那些“能被看到和摸到的”感官知觉对象,似乎是同一类型的东西。

这种原始观念的根源,自然是由于不知不觉存在着几何概念同直接经验对象的关系,这种原始观念大概也就是康德所提出的那个著名的关于“先验综合判断可能性问题的根据”。

引领爱因斯坦步入自然科学领域的有两个人,他们就是爱因斯坦的叔叔雅客布·爱因斯坦和来自俄国的大学生塔尔梅。雅客布·爱因斯坦是一名工程师,他和赫尔曼都爱好数学。在工厂里,他负责管技术;在家里,他则是小爱因斯坦在数学方面的启蒙者。

爱因斯坦上学以后,雅客布叔叔就常常给小爱因斯坦出一些数学题让他解答。

1888年10月,爱因斯坦从慕尼黑国民学校进入路易波尔德中学学习,一直读到15岁。

上中学后,爱因斯坦的学习积极性有了明显的增强,对多数科目也能够专心听讲了。但他不满足于老师课堂上讲的东西,经常自己到图书馆借书读,书店也是他经常光顾的地方。

他比较喜欢的书是欧几里得几何学以及阿基米德、牛顿、亚里士多德等人的书。年龄稍大一些,他又迷上了斯宾诺莎的著作。

爱因斯坦在中学的学习中已经表现出明显的倾向,即喜欢数学、哲学和物理学,而厌恶神学、宗教等内容。但即使喜欢的科目,他学习成绩也不突出。

他最喜欢钻研哲学和数学问题,可是,这些学科的老师并不喜欢他。

有一次,爱因斯坦向一位数学老师请教一个数学问题。那位老师却不无讽刺地说:“让你学数学,恐怕是上帝的一个错误。”言外之意是爱因斯坦根本不是学数学的料。

然而,爱因斯坦并不虚荣。他认为不懂、不会的问题,向别人求教没有什么可耻的,即使是最简单的问题,只要不懂,就应该向懂得的人请教。

正是这种精神,使这个被人称为“不会有什么出息”的人,成长为20世纪的科学巨匠。成名之后,爱因斯坦曾自我评价说:

关于特别强的脑力,我是没有的,就是有,也只是中等程度。有许多人的思维能力比我强,但未做出任何惊人的事业。

出于对自然科学知识的渴求,中学时期的爱因斯坦学习数学、物理以及哲学非常投入。

尽管考试成绩常常不尽如人意,但他却阅读了大量自己喜欢的著作。而且在阅读这些著作时,他不是泛泛地翻阅,也不是找一些经典语句以供炫耀,而是认真地吸收其思想精华,在学习中形成自己的认识,有时还产生出一些批判意识。

由于迷恋于自己喜欢的著作,使本来人际交往能力很弱的爱因斯坦更少与他人来往了。他与同学缺少共同的志趣,玩不到一起。那些同学大都醉心于体育比赛、游戏,甚至恶作剧。爱因斯坦对这些都不在行,也毫无兴致。

于是,他就常常一个人躲在不惹人注意的地方,有时专心读书,有时踱步思索,慢慢地成了一个“离群索居”之人。为此,同学们送他一个绰号——“孤独的小老头”。

“孤独的小老头”不在嬉笑打闹中浪费光阴,也不在老师面前争宠,而是默默无闻地读自己的书,想自己喜欢想的事。在整个中学阶段,他未产生过与别人比高低的意识,只是不停地为满足自己的求知欲而读书和思考。

爱因斯坦也有大脑疲劳的时候,更当烦闷之时,每当此时,他就与小提琴为伴。受母亲的影响,他从小就喜欢音乐,小提琴拉得很好,上小学时就能拉出完整的曲子。所以,每当烦闷或疲劳之时,他就拉几支曲子。

这期间,来自俄国的大学生塔尔梅成了爱因斯坦家里的常客。塔尔梅每到星期四就到爱因斯坦家里来吃晚饭,这是慕尼黑犹太人帮助外国来的穷苦犹太学生的一种慈善行动。

塔尔梅虽然是学医的,但他对各种自然科学知识以及哲学均有浓厚的兴趣。

他对小爱因斯坦的超常求知欲及学习能力非常惊叹。一开始,塔尔梅总是和爱因斯坦谈论一些数学上的问题,引起了爱因斯坦对数学的浓厚兴趣。

厌倦学校枯燥的教学方式的爱因斯坦干脆自学起微积分。他所提出的数学问题,经常弄得中学数学老师张口结舌,不知如何回答。所以,尽管爱因斯坦的数学成绩永远第一,但老师并不喜欢他。

爱因斯坦超常的数学能力,确实会让一个普通的中学教师感到难堪,产生一种无法言说的心理压力。

不过塔尔梅和那位教师不同,虽然不久后他也不是爱因斯坦数学上的对手了,但他依然热情地为爱因斯坦介绍当时流行的种种自然科学书籍,以及康德的哲学著作,特别是布赫纳的《力和物质》、伯恩斯坦的《自然科学通俗读本》,这些著作给爱因斯坦留下了极深刻的印象。


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