数学与哲学（第二辑 06）

目 录
一 “万物皆数”观点的破灭与再生———第一次数学危机与实数理论  / 1        
1.1 毕达哥拉斯学派的信条———万物皆数  / 1
1.2 第一个无理数  / 2
1.3 无理数之谜  / 3
1.4 连续性的奥秘  / 4
1.5 戴德金分割  / 6
1.6 连续归纳原理  / 7
1.7 “万物皆数”的再生  / 9
二 哪种几何才是真的———非欧几何与现代数学的“公理”  / 11        
2.1 欧几里得的公理方法  / 11
2.2 欧几里得的几何定理是真理吗  / 12
2.3 非欧几何的发现  / 13
2.4 哪一个是真的  / 15
2.5 公理是什么  / 17
三 变量·无穷小·量的“鬼魂”———第二次数学危机与极限概念  / 19        
3.1 数学怎么描述运动与变化  / 20
3.2 瞬时速度  / 22
3.3 微分是量的鬼魂吗  / 24
3.4 无穷小量的再生  / 26
四 自然数有多少———数学中的“实在无穷”概念  / 28        
4.1 伽利略的困惑  / 29
4.2 康托尔，闯入无穷王国的先锋  / 30
4.3 希尔伯特的“无穷旅店”  / 32      
4.4 所有的无穷都一样吗  / 33
4.5 自然数究竟有多少  / 38
五 罗素悖论引起的轩然大波———第三次数学危机  / 40        
5.1 逻辑—集合—数  / 40
5.2 罗素悖论  / 42
5.3 集合的层次理论  / 43
5.4 集合论的公理化  / 44
5.5 连续统假设  / 45
5.6 地平线仍在前方  / 46
六 数是什么———对数学对象本质的几种看法  / 49        
6.1 “1”是什么  / 49
6.2 柏拉图主义———数存在于理念世界  / 51
6.3 唯名论观点———数是纸上的符号或头脑中特定的概念  / 54
6.4 康德:数是思维创造的抽象实体  / 55
6.5 约定论的观点———数学规则不过是人的约定  / 56
6.6 逻辑主义———算术是逻辑的一部分  / 56
6.7 直觉主义———数学概念是自主的智力活动  / 58
6.8 形式主义———把数学化为关于有限符号排列的操作  / 60  
七 是真的，但又不能证明———哥德尔定理  / 63        
7.1 哥德尔定理  / 65
7.2 说谎者悖论与理查德悖论  / 66
7.3 算术有多少种  / 67
7.4 数学的力量与局限  / 69
八 数学与结构———布尔巴基学派的观点  / 71        
8.1 在逻辑长链的背后  / 72
8.2 形形色色的加法  / 75
8.3 基本的结构  / 78
8.4 分析与综合的艺术  / 81
九 命运决定还是意志自由———必然性与偶然性的数学思考  / 85        
9.1 两种对立的哲学观点  / 86
9.2 从偶然产生必然  / 91      
9.3 从必然产生偶然  / 93
9.4 一阵风或一口痰能影响民族的命运吗  / 95
9.5 什么叫必然 什么叫偶然  / 97
十 举例子能证明几何定理吗———演绎与归纳的对立与统一  / 101        
10.1 例证法———用演绎支持归纳  / 101
10.2 几何定理也能用例子证明  / 103
10.3 进一步的思考  / 106  
十一 数学与哲学随想  / 109        
11.1 数学的领域在扩大，哲学的地盘在缩小  / 109
11.2 数学始终在影响着哲学  / 110
11.3 抽象与具体  / 112
11.4 涉及具体问题时，语言必须准确严格  / 113
11.5 个别与一般  / 114
11.6 事物与概念  / 116
11.7 “我不需要这个假设”  / 117
11.8 证实与证伪  / 118
11.9 数学世界是人的创造，但它是客观的  / 119
11.10 事物的总体性  / 120
11.11 变化中的不变  / 121
11.12 预 言  / 123
11.13 “没有两件事物完全一样”  / 124
11.14 物极必反  / 125
11.15 量变与质变  / 125
11.16 罗素与“事素”  / 127
数学高端科普出版书目  / 129