第二节 郭守敬
生平事迹
郭守敬，字若思，顺德邢台（今河北省邢台市）人，生于元太宗三年（1231），卒于仁宗延祐三年（1316），是我国杰出的天文学家，数学家和水利工程专家。
郭守敬的父亲情况史传未载，有可能是早逝。他是由祖父郭荣抚养成人的。郭荣是饱学之士，尤精通数学、水利。在郭荣的教养下，郭守敬从小勤奋好学。值得称道的是，他在少年时代就养成了很强的动手能力。有当时人的记载①，他曾根据书上的一幅插图，用竹篾扎制出一架测天用的浑仪，而且还堆土做了一个土台阶，把竹制浑仪放在上面，进行天文观测。他还曾根据北宋燕肃一幅拓印的石刻莲花漏图，弄清了这种可以保持漏壶水面稳定的、在当时非常先进的计时仪器的工作原理。
当时，忽必烈的重要谋士、大学问家刘秉忠因守父丧，正在邢台西南武安县境的紫金山中结庐读书。从学者有后来的大数学家王恂。郭荣和刘秉忠是好友，知此消息后，就把少年郭守敬送到刘秉忠门下深造。这一段时间虽然不长，但对郭守敬后来的一生事业却很重要。
刘秉忠守丧期满后回到了忽必烈身边。郭守敬则回到了他的家乡。这时的郭守敬已小有名声。在他成年不久，忽必烈派来安抚邢台一带地方的脱兀脱和刘肃等，发起了整治开挖水流河道的工作，并专门聘请郭守敬承担工程的规划设计。郭守敬依仗家传绝学，再加上认真的调查勘测，很快就弄清了因战乱而破坏了的河道系统。随后的疏浚整治工程，使漫的水泽各归故道，并且在郭守敬的指点之下一举挖出已被埋没了近三十年的石桥遗物。这项工程受到了时人的传颂。著名文学家元好问曾专门为此写了一篇《邢州新石桥记》①，文中的郭生指的就是年轻的郭守敬。
1260年，忽必烈登上了皇位。他任命刘秉忠的同学张文谦到大名路（今河北省大名县一带）等地任宣抚使。张文谦把郭守敬带在身边协助他办事。郭守敬所到之处，做了许多河道水利的调查勘测工作。他还在大名召集匠人，鼓铸了一套他少年时所探究的莲花漏，不过，大概他把作为装饰性的莲花作了改动，因此改称为宝山漏。
中统三年（1262）春，张文谦向忽必烈推荐了郭守敬。忽必烈即在开平府（后称上都）召见了他。召见时，郭守敬向忽必烈提出了六项水利工程计划。由于他掌握了丰富的实际资料，因而所提计划都很具体而有明显的说服力。忽必烈对他大加赞赏，当即任命他为提举诸路河渠，掌管各地河渠的整修和管理工作。次年，他又升任银符副河渠使。
至元元年（1264）初夏，忽必烈派唆脱颜与郭守敬二人去西夏一带视察河渠水道。几个月后又派张文谦作为朝廷的代表治理西夏（相当于今甘肃东部、宁夏、内蒙西部一带）。郭守敬在张文谦的领导和支持下，修复了黄河中、上游许多被破坏了的渠道，受到西夏人民的爱戴。当地人民曾在渠头上为他建立生祠。
至元二年，郭守敬升任都水少监。至元八年（1271）升任都水监。至元十三年，都水监并入工部，他被任为工部郎中。
这一年，元兵攻克南宋首都临安，全国统一在望。忽必烈想起了已于两年前去世的刘秉忠曾在生前提出过的建议：改革历法，编修新皇朝自己的历法。为此，他下令设立太史局（后改称太史院），任命张文谦和另一位大臣张易主持；任命当时任太子赞善的王恂负责具体组织工作，后正式任他为太史令。王恂除了调集大都、临安等地的天文官外，还聘请了其他一些专家，包括当时的理学家许衡和杨恭懿等。其中王恂的老同学工部郎中郭守敬则是最重要的一个，他后来被任命为同知太史院事。据当时人记载，参加修历的主要人员有明确的专业分工①。其中王恂负责历法的推算，而郭守敬则负责仪器和观测。郭守敬在这项工作中发挥了惊人的创造力，发明了十多件天文仪器，把我国光辉的天文仪器制造传统推向了新的高峰。郭守敬还组织并亲自进行了大量的天文观测，为新历提供了坚实的观测基础。
新历于至元十七年（1280）冬，初步告成，被定名为《授时历》，并颁发了次年的历书。但从至元十八年起，几个主要的修历人员都先后去世或退休，于是，只好由郭守敬担负起了整理和总结新历资料的浩大工程。经过几年的时间，他整理成《推步》（历法计算的步骤与方法）七卷、《立成》（各种天文计算表）二卷、《历议》（评议历代历法的各种得失及新历的优点所在）三卷等书，从而使《授时历》得以流传后世。至元二十三年（1286），郭守敬被任命为元皇朝的第二任太史令。于是，他把上述几种书，以及《转神选择》二卷、《上中下三历注式》十二卷等书一并进呈朝廷。其后，他还著有《时候笺注》（研究二十四节气、七十二候的物候现象和人们届时应从事的政治和社会活动）二卷、《〈授时历）修改源流》一卷、《仪象法式》二卷、《二至晷景考》（研究历代用圭表测影定冬、夏至时刻的问题）二十卷、《五星细行考》五十卷、《古今交食考》一卷、《新测二十八宿杂坐诸星入宿去极》一卷、《新测无名诸星》一卷、《月离考》一卷等重要著作，也都藏于官府。但这些书现都已失传，令人十分痛惜。
至元二十八年（1291），有人提出利用滦河水道，向上拉纤可到上都；又有人提出，从麻峪经泸沟（即今永定河）往上可到上都附近的荨麻林（今河北省万全县西北）。忽必烈派郭守敬去调查。郭守敬调查表明，这两种方案都是不可行的。在向忽必烈汇报时，郭守敬提出了自己的十一项水利计划。其中第一项是提出修一条从大都到通州（今北京市通县）的运河，以解决向大都运粮的问题。忽必烈对此极为重视，并决定重新设立都水监，由郭守敬领导，把开凿运河作为首要任务进行安排。至元三十年秋天，这条全长一百六十多华里的通惠河工程全部完成。从此，南来的船舶经大运河可以一直驶进大都城中。
此后，郭守敬身兼天文和水利两方面的领导工作。至元三十一年，他升任昭文馆大学士、知太史院事，但仍然要他过问水利方面的工作。元成宗大德二年（1298），有人提议在上都西北的铁幡竿岭下，开出一条宣泄山洪的渠道，向南通往滦河。成宗把郭守敬召到上都商议。郭守敬根据地势和历年山洪资料，指出这条宣泄山洪的渠道要宽到五十步至七十步（约80—115米）。但经办此事的人认为郭守敬太夸大了，就把他定的宽度缩减了三分之一。谁知次年山洪暴发时，果然因渠道太窄，泛滥成灾，还险些冲了元成宗的行帐。元成宗在避水时叹道：“郭太史真是神人呐，可惜没有听他的话！”
此后，郭守敬的声望更高了。大德七年（1303），元成宗诏令，年满七十岁的官员都可以退休，独对郭守敬，因为许多工作都要依靠他，故破例不准他退休。由此形成了一个新例：太史院的天文官都不退休。这样，郭守敬就一直工作到去世。元仁宗延祐三年（1316），郭守敬去世，享年八十六岁。
天文工作上的贡献
郭守敬在天文学方面的主要贡献有：制造仪器、从事天文观测和为《授时历》作整理定稿工作。
一、天文仪器的制造郭守敬为完成《授时历》工作创制了十二件天文台上用的仪器，四件可携至野外观测用的仪器。这十二件天文台上用的仪器，在郭守敬的门人齐履谦为他写的传记中全有记载，每件还附有极简洁的一二句赞语①。但不知什么原因，这篇传记中合计仪器总数为十三件。由此后世研究家颇为迷惑。但细检齐履谦所记叙及其他各种史料，实为十二件。至于四件可携式仪器，则在齐履谦也全部罗列。这十六件仪器中，有九件在《元史·天文志》有较详细记载：简仪、候极仪、立运仪、浑象、仰仪、高表、景符、闚几和正方案。其中仅正方案被称为可携式仪器。
1.简仪这是郭守敬发明的最重要的天文仪器。它是把中国传统的天文仪器浑仪加以简化、改造而成。浑仪是一种赤道装置。它由七八个同心圆环组成，共分三层。外层古称六合仪，起固定架构作用，也可以测读地平方位角等读数。中层古称三辰仪，包括赤道环、黄道环和白道环，可以读取赤道度数、黄道度数和白道度数。内层是个双层的圆环，古称四游仪。在这双层环中夹有一条两端开口、供瞄准天体用的窥管。四游环可以绕整个仪器的极轴旋转；窥管则可以在夹层中绕整个仪器的中心旋转。这样，就可以把窥管瞄向星空中的任何一点。浑仪是中国古代在天文仪器方面的一大创造，它在世界天文仪器史上也占有突出的地位。只是，由于浑仪窥管外的环圈较多，有相当一部分空间被遮蔽了，使用效率受到一定影响。
郭守敬的简化是省去与黄道度数、白道度数有关的圆环。把测读地平方位角的圆环分离出来，形成一架独立的仪器—立运仪。郭守敬的改造则是改造了同心结构，把六合仪和三辰仪中的两个赤道环都移到四游环的南端，用一组云柱架子斜托着它们。四游环转动轴的北端则用另一组云柱结成一个小圆环，让圆环中心套着轴的北端。转动轴安装得和天球周日转动轴（也就是地球自转轴）相平行。这样就形成一种新形式的赤道装置。这种新形式的赤道装置后在现代天文望远镜中得到广泛运用。这是简仪成功的第一个事例。
由于撤去了许多圆环，在四游仪的上方一无遮拦，观测范围和效率就有了增加和提高。
郭守敬对浑仪中的窥管也作了改革。传统的窥管是个细长的正方立柱管，柱的两端开有圆孔。这种细长的中空的立柱体在加工精度上是比较困难的。郭守敬撤去了柱管的三个面，只剩下一面可贴着四游仪环面转动。这一面就像一根尺子，故改称窥衡。窥管两头开观测孔的小正方板现在是垂直立在那条尺上的，故称为立耳。这样的构造比管子容易加工得多。
由于中国古代测量天体的赤道坐标位置时有自己的特点：相当于现代天文学上所谓赤纬的量，中国古代用其余角——去极度来表示；相当于现代天文学上所谓赤经的量，中国古代用入宿度（即待测天体与其前在二十八宿中某宿的距星的赤经差）来表示。前者在简仪中的四游仪上可以直接读出；后者在浑仪的情况下是采取二次观测法，即把窥管先对准某宿距星，从赤道环上读出四游仪所对的读数；然后快速转动四游仪，把窥管对向待测天体，再从赤道环上读出此时四游仪所对的读数。前后两数相减，可得天体的入某宿几度的数值。因为二十八宿的距星各有不同的去极度，与待测天体的去极度一般来说也都不同，因此，即使是一个熟练的观测者，在前后二次观测之间也都必须用相当一段时间。而天球是在不停转动的。这就使前后二次观测所得的差数，并不是这两个天体之间真正的赤经差，而是有一定的误差。针对这个情况，郭守敬又在简仪上增加了二个部件。它们都是一条长尺，称为界衡，贴在简仪南部的二个赤道环上，中心可绕着四游仪转动轴旋转。每根尺子的两端都用细铜线连接起来，细铜线又穿过四游仪的北极轴端。于是，二线一尺形成一个平面。观测时，可以由两个人分别把一根尺的二条线对向距星或待测天体，这样可以同时得到二个读数，其赤经差的误差，较之浑仪观测所得就可降低。就是在一人观测的情况下，因为每次不需要瞄准一个点，而是瞄向这个点所经过的线，因此所需的瞄准时间也就少得多。这样，也就降低了误差。
100刻。每度后来又可分成4等分，每刻则分成6等分。这样古代浑仪的最
与古浑仪相比，读数精度大大提高了一步。
简仪的二个赤道环是重叠在一起的。一个固定不动，好像浑仪的六合仪中的赤道环，上刻时刻制度。一个可以转动，好象浑仪三辰仪中的赤道环，上刻周天度数。为了增加可转环的灵活性，郭守敬在二环中间装了四个滚柱，这种机械装置可说是近代滚柱轴承的祖先。西方类似的发明是郭守敬之后两个世纪的意大利大科学家达·芬奇所作出的。
2.候极仪古人早就知道，北极星不在正北极点上，在周日运动中北极星绕不动的北极画出一个圆。在安装浑仪时应把浑仪的转动极轴对准这个北极星轨迹的圆心。郭守敬发明了候极仪，专门用来作这件事。这件仪器的主要功用是校正仪器极轴的安装位置。故在简仪中就包容了它。在简仪南北极轴的大小两圆环中都有斜置的正交十字铜条，十字中心就是极轴中心。北极一端的十字上叉处又置一小圆环，圆环中有正置的正十字铜条。十字中心离北极轴中心有个固定的距离甲。简仪南极轴处也有一组斜置的正交十字铜条。其上叉处置一方铜板，板中心开一小圆孔。圆孔中心和南极轴中心的距离也正是甲。因此，从南端的方铜板小孔中心到北端小十字中心的连线正与四游仪的转动轴中心线平行。通过南端小方铜板的中心向北观测，应看到北极星在北端的小圆环内。当北极星的轨迹所画出的圆，其圆心正好和小十字中心重合时，简仪的极轴就被安装正确了。否则，就应加以调整。
3.立运仪这是把浑仪中的地平环分离出来而构成的一个独立装置。一个地平环水平地卧在地上（仪器底座上），另一个可转动的环立在地平环的中心，名为立运环。立运环的转动轴就是从天顶到地平环中心的铅垂线。立运环上也附有一条窥衡，可以用它来观测天体的地平高度（或天顶距，它与地平高度互为余角）。至于地平方位角的测定问题，则因没有史料留存，故只能推测：或许它是和简仪相仿，有一条界衡，它的两端用细线和立运环转动轴的上端相连。转动界衡，让二线与所测天体重合，就可从界衡所在读得天体的地平方位角。也可能不用界衡，而是从立运环的所在估读出天体的地平方位角。一般而言，古代对于地平方位角和地平高度这样的量的测量精度要求不高，因此，从立运环所在进行估读也不是件不可以的事。现今史料所传这件立运仪是安装在简仪北部的云柱架下的。实际上它是一件简仪的附属装置。虽然如此，这件能同时读出地平高度和方位角的仪器，在古代世界还是很有意思的。直到清初，西方传教士南怀仁在北京制造的6件仪器中，有2件是分别测读地平方位角的地平经仪和测读地平高度的地平纬仪。在中国，把二者功能合在一起的地平经纬仪则是法国传教士纪里安在康熙五十三年（1714）所制造的。
4.仰仪这是一台铜制的、中空的半球面形仪器，形状像口仰天放着的锅。半球的口上刻着东南西北四个方向。半球内面刻着与观测地纬度相应的赤道座标网。半球口上还用一横一竖两根十字交叉的竿子架着一块小板，板心开一小孔，孔的位置正在半球面的球心上。太阳光通过小孔，在球面上投下一个圆形的像，坐标网上立即可以读出太阳此时在天球上的位置。更妙的是，当发生日、月食时，仰球上的日像或月像也相应地发生亏缺现象。这时，从仰仪上可以观测出日、月食发生的方位，亏缺部分（称为食分）的多少，以及各种食相发生的时刻等等。这件仪器后来传入了朝鲜，朝鲜人民把带小板的十字竿改成一根尖顶的竿，尖顶位置则正在半球面的中心。这件改造了的仰仪能更精确地测读地方真太阳时，因而改名仰釜日晷。现今在汉城就还有这样的实物遗存。
5.浑象这是一台天球仪，与现代常见的天球仪本质一致，只是安放在一只方柜子中。方柜的面相当于地平面，半个天球露在方柜之上。柜内有机轮系统，可以用漏壶流水来推带，使之与实际的天球作同步运转。这是对张衡所创的水运浑象传统的继承。
6.高表古代有一种测量二十四节气时刻的仪器，叫做圭表。表是根垂直立在地上高八尺的竿子或铜柱。圭是从表足下往北延伸的一根平放的尺子，大多为石刻。每天正午，太阳投射出表影落在圭面上，测量影子的长度，可以推算出冬至和夏至的时刻，等等。圭表是件简单而实用的仪器、但有个缺点，主要由于空气中微粒尘埃的漫射，使表影的顶端界线模糊不清，这就影响了观测精度。
郭守敬将圭表加以改造，使之成为原来表高的五倍，故称高表。绝对数据增长到五倍，同样的测量误差，其影响就缩小了五分之四。关于这一点，后世的天文学家也都认识到，所以，从阿拉伯世界到印度，天文仪器巨型化的趋势是很明显的。这方面，郭守敬是先行者。
郭守敬的高表还有一个特点。就是表顶不是完全的实体，实体只有三十六尺。在其顶上升起二条龙，抬着一根水平的、直径三寸的横梁。梁心到表顶为四尺，梁心到圭面为四十尺。郭守敬这样设计的缘故，下文自明。
7.景符这是一件与高表相配合使用的仪器。一个座架，斜撑一块宽二寸、长四寸的小铜板。铜板中心开一小孔。利用针孔成像原理，使太阳光在小铜板背后成一光亮的像。把景符放在圭面上合适的地位，当太阳过子午线时太阳和表梁在圭面上投出清晰的影子：一个个米粒大小的光点，中间有一条纤细的黑线。测量从表足到那根黑线的距离，这就是高表的影长。由于使用了针孔成像原理，景符到圭面的距离很短，这样，阳光漫射使表影模糊的问题就解决了。
古代测量影长的读数精度只能到寸以下的分。再往下，因为影端模糊的问题就不再有意义，而且在刻度上求分以下的单位也很困难。郭守敬由于使用了景符，测量的读数精度就可以到分以下的厘；厘以下还可估计到五毫。至于他在量度实践中使用的是什么方法可达到厘和估到五毫的精度，则史无明文，无可猜测。
8.闚几这件仪器也是配合高表使用的。古代圭表技术只能用于测量太阳影长，月亮和星星的光太暗弱，没有人想过用圭表来对它们进行测量。于是，郭守敬发明了闚几来从事这件古人所没有想到的事。
闚几是一张长六尺、宽二尺、高四尺的桌子。桌面上开一道长四尺、宽二寸的缝。缝两旁刻上尺、寸、分的刻度。把闚几放在圭面上，人蹲在几下进行观测。几面上横放着二根长二尺四寸、宽二寸、厚五分的木条，称为闚限。它们的两头各比闚几长出的二寸处，又各往下增厚二寸。这样它们就可卡紧在闚几边上。观测时，用于挪动南闚限，使其北边沿和高表横梁的下边沿及待测天体的下边相重，然后再挪动北闚限，使其南边沿和横梁上边沿及天体的上边重合。折取二闚限位置的中线所在就可得到天体的表影数。不过要注意，这里的表高就只有三十六尺。如果要求四十尺表的“影长”，当然还要经过一定的折算。
重要的是，据《元史·天文志》记载表明，当时曾提到过，用远隔两地的高表、闚几，同日观测，由此可以推算星、月离地面的距离。这样的测定，在过去是从来没有过的。只可惜当时的推算方法和实测事例都没有留传下来，否则，将为中国天文学发展史提供许多重要的信息。
9.正方案这是一件所谓供行测，即可以携带到野外用的仪器。是一块四尺见方，厚达一寸的板。板四周开水沟，放水，可以调整仪器的水平位置。从板中心画一个十字直达边缘。以十字中心为心，作十九个同心圆，圆的半径从一寸起，一寸一寸增加。最外第十九个圆则画成双重的，以便中间画上刻度线。最内层的半径一寸的圆上做成一个高二寸的圆台。中心打洞，洞内立表。表高一尺五寸，冬至时则改为一尺高表；夏至时则改成三尺。改变表高的目的是使一年四季里中午表影一定会落在最内圆之外、最外圆之内。
每天从日出开始，监视正方案上表影的移动情况。每当表影正落到一个圆上时，就记下记号。表影从西方进来，到中午时影最短，下午则影从东方出去。一般来说，在一个圆上有二个记号。将这二个记号折取其中，中点和圆心相连就得南北线。如果每个圆上都得到相同的南北线，则这条线就是正确的南北线。当然，做这种观测，应当在太阳赤纬变化很小时效果较好。这主要是在夏至或冬至前后的若干天内，若在春分或秋分日附近，则太阳赤纬的变化较大，此时只能使用正午前后少数几个圆上的观测结果。
有意思的是，正方案也可以用来测定北极方向。把正方案侧立在已确定了的正南北线上。用某种方法测定当地的北极出地高度（也即地理纬度）。然后从十字中心斜引一线，与水平横线所成角度和地理纬度相等，则斜线所指即为北极。以后在安装其他仪器时，极轴所指即以此正方案上的斜线所指为准。
以上九件在《元史·天文志》中有介绍的仪器，研究的人较多，大体对其结构、功能和使用方法都已有比较清楚的了解①。其他七件中有二件可从朝鲜《李朝实录》中找到一些史料。这二件中的一件是固定安装在天文台上用的，叫星晷定时仪；另一件是所谓可携式的“行测之器”，叫悬正仪。
10.星晷定时仪根据齐履谦记述和赞语，有人判断所描述的是具赤道式日晷。故提出星晷和定时仪是两件仪器①；其实齐履谦的记述有脱文，失落了赤道式日晷的名称和星晷定时仪的赞语②。但从《李朝实录》卷七十七《世宗实录》十九年丁巳四月甲戌日条记载，这些猜测都错了。星晷定时仪应是一件仪器，《李朝实录》称之为日星定时仪。星晷定时仪中的“星晷”二字应理解作星和晷，这个晷字作日影解，而不作测日影定时刻的仪器器物解，否则将和定时仪中的仪字意义重复。但星晷二字合在一起，确实有这么一种器物。例如，《明史·天文志一》中就几次提到星晷这种仪器。所以，星晷定时仪一词确实容易引起误会。朝鲜学者改称为日星定时仪，是很合理的。
关于这件仪器的具体情况，齐履谦留下的四句赞语：天有赤道，轮以当之；两极低昂，标以指之。
此外则无考。但在《李朝实录》中却有对日星定时仪结构的详细介绍，此段文字转录于下：（日星定时仪）其制用铜为之。先作轮，势准赤道，有柄。轮经（径）③二尺，厚四分，广三寸。中有十字距，广一寸五分，厚如轮。十字之中有轴，长五分半，经二寸。北面剡掘，中心存一厘以为厚，中为圜穴如芥。轴以贯界衡，穴以候星也。
下有蟠龙，含轮柄。柄厚一寸八分，入龙口一尺一寸，出外三寸六分。龙下有台，广二尺，长三尺二寸，有渠有池，所以取平也。轮之上面，置三环。曰周天度分环，曰日晷百刻环，曰星晷百刻环。其周天度分环居外运转，外有两耳，经二尺，厚三分，广八分。日晷百刻环居中不转，经一尺八寸四分，广、厚与外环同。星晷百刻环居内运转，内有两耳，经一尺六寸八分，广、厚与中、外环同。有耳，所以运也。
三环之上，有界衡，长二尺一寸，广三寸，厚五分。两头中虚，长二寸二分，广一寸八分，所以不蔽三环之画也。
腰中左右，各有一龙，长一尺，共捧定极环。环有二。外环、内环之间，勾陈大星见；内环之内，天枢星见。所以正南北赤道也。外环经二寸三分，广三分。内环经一寸四分半，广四厘。厚皆二分。些少相接如十字。界衡两端虚处，内外各有小穴。定极外环两边，亦有小穴。以细绳通贯六穴，而结于界衡之两端，所以上候日星，而下考时刻者也。
周天环刻周天度，每度作四分。日晷环刻百刻，每刻作六分。星晷环亦刻如日晷。但子正过晨前子正，如周天过一度为异耳。
上述文中把日星定时仪的大小、结构乃至一些细部都已说得很清楚，可不必再作解释。唯一不太清楚的是，捧定极环的二条升龙立在什么地方？所谓“腰中左右”究竟是什么涵义？此事幸得上引《李朝实录》原文之后还有一段铭文：“双龙挟轴，擎定极环”。可见，这：“腰中”就是“贯界衡”的轴。这两条龙当然不会站在界衡之上，因为这样将要妨碍观测。应当是站在赤道轮中的十字距上的，而且从器物本身平衡的考虑，可以推知当是在子午向的那条铜距上的。
仔细推敲这段文字，可以发现日星定时仪与郭守敬的星晷定时仪可能有细节上的差别。这主要是指郭守敬的星晷定时仪中是“两极低昂，标以指之”，也就是说，星晷定时仪中未必有一套定极环等等的结构，而是用某种方法测定了北极方向之后，用一根指标竿固定地对向它就行了。这样做当然不如有定极环可以随时观测校正仪器的极轴方向；反之，它因为没有二条立龙，故此仪器的使用范围要比日星定时仪来得宽广些。两者各有利弊。
11.悬正仪这件可携式仪器过去被推测为是一种校正仪器垂直方向的辅助仪器。①究竟具体结构是什么？中国文献中未查到资料。查《李朝实录》，在卷七十七“十九年丁巳四月甲戌”条下记有戊午年春承旨金墩所作的一篇记。记中描述了世宗十四年壬子秋七月起，世宗命大提学郑招、艺文馆提学郑麟趾、中枢院使李藏及户曹判书安纯等制造天文仪器，修筑简仪台、报漏阁、钦敬阁等工程情况。还提到了当时所造的多种日晷。其中有一种称为悬珠日晷，结构如下：方趺，长六寸三分。竖柱趺北，凿池趺南。画十字于趺北。悬锤于柱头，与十字相当，则不必水准，自然平整。画百刻于小轮。轮经三寸二分。有柄斜贯于柱。轮心有窍，贯一细线，上系柱端，下系趺南。线影所在，便知时刻。
这是一台赤道式日晷，只是用北高南低的一根线来代替通常的晷针罢了。令人感兴趣的是悬锤校正的设备和方法。在趺北画一个十字，从柱头悬一个小重锤下来，当它与十字中心相当，就使仪器自然得以平整。这种装备和校正方法，在天平日晷、定南日晷等仪器中曾多次使用。这应是郭守敬所发明的悬正仪。正象郭守敬的候极仪成为简仪中的一个装置一样，悬正仪也可以不是一件独立的仪器，而是一件辅助装置。
此外，还有玲珑仪、证理仪和日月食仪三种固定式仪器，丸表、座正仪二种可携式仪器尚未有可考的资料以使研究者们得到肯定一致的结论。
12.玲珑仪关于此仪，郭守敬当年的下属太史院校书郎杨桓写过一篇铭文①；明代叶子奇的《草木子》中也有一段关于玲珑仪的记载。根据这些记载，有人判断玲珑仪是一种演示性的假天仪②。人进入仪器腹中去，仪器本身是个中空的大圆球，球面上凿着与恒星位置相应的孔。人在里面可以看到星星的东升西落。也有人认为这是件假天仪式的浑象，天球的制作材料是与玉相类似的半透明的玻璃③。
有人根据意大利传教士利玛窦的札记，认为这是一件精巧的浑仪④。更有人指出这件浑仪是明代仿制浑仪的母体⑤。据说晚清时来华的伟烈亚力（Alexanderwylie，1815—1887）就认为利玛窦在札记中所描述的浑仪是玲珑仪⑥。后来德礼贤（DasqualeM.d'Elia）在编辑《利玛窦全集》及研究利玛窦札记中所述在南京所见天文仪器那一大段文字时，也将利玛窦所见到的浑仪释为玲珑仪①。但事实上这都是误解。利玛窦本人并未说过自己在南京所看到的那架精美巧妙的浑仪有个玲珑仪的名字。
有人详细分析了杨桓《玲珑仪铭》等较可靠的资料后认为，只有解释作假天仪式的浑象才比较合理②。其中最主要的是对铭文中“十万余目，经纬均布”，“遍体虚明，中外宣露”，“人由中窥，目即而喻”等句的理解，就观测用的浑仪来说是非常困难的。
13.证理仪齐履谦赞语曰：“日有中道，月有九行，公则一之，作证理仪。”所谓“证理”是指证明古人称月行九道，实即一道的道理。至于如何用仪器来证明法，因无线索，无可推测。
14.日月食仪齐履谦赞曰：“历法之验，在于交会，作日月食仪。”这件仪器是用来验证历法的，所以可能是一件具有实测性能的仪器。究竟如何，尚待研究。
15.丸表据推测可能是一具新型的天球仪式日晷。在一个可携式天球上刻着时角一赤纬坐标网。天球赤道上安设一条赤道环。赤道环上装一根可沿环移动的、垂直天球面的晷针。当把这样的丸（天球）表（晷针）携到一个新的地点后，先把丸表的极轴校正得与天的极轴相平行。丸表上的赤道环与天赤道平行。这时移动晷针，当它的日影最短时，从晷针所在的时角线即可得知地方真太阳时。
16.座正仪这当是一种校验大型仪器底座的水平位置是否正确的仪器。可能是从中国传统的水平仪发展而来的。
以上十六件仪器都是郭守敬在为创编《授时历》的工作期间所发明制造的。而在创编《授时历》工作前后，他还制造并创作了一些天文仪器，其中多数是计时器或与计时器有关的仪器。工作之前制作的仪器有：17.宝山漏这是根据燕肃莲花漏的原理建造的。
工作之后所制作的仪器有：18.大明殿灯漏又称七宝灯漏。作于元世祖晚年。此仪器《元史·天文志》有关于外形方面的记载。这是一架高一丈七尺的大型仪器，有四层。顶层是代表日、月、参星、心星的四个神，每天左旋一周。次层有龙、虎、鸟、龟四种动物像，分布在东、西、南、北四方，每到一刻就跳跃鸣叫。再次层有十二神分执时辰牌。到某个时辰，该神就在四门通报。另外有一个人，常以手指时刻牌上的刻数。最末层在四角上各设钟、鼓、钲、铙，各有一人，一刻鸣钟，二刻打鼓，三钲，四铙。所有动力机构和主要传动机构都藏在一个柜子里，用水来推动。
此器因较复杂，也没有关于机械部分的任何说明流传下来，故迄今尚未有人作过研究。
19.灵台水运浑天漏① 制于元成宗大德二年（1298）。这又回到古代的水运浑象传统，既有报时刻的部分，又有演示天球周日转动的部分。这项仪器的复杂程度远较原来的要高。其中主要是有日月二环，在随天球作周日转动的同时，又要表演其在星空间的周期运动。因为日、月的运转速度不同，且日的视运行轨道——黄道，与天球转动的赤道不在同一平面上，这种机械结构就比黄赤道在同一平面时的结构要复杂得多。据有关史料记载，这台仪器的机轮共有25个，那的确比宋代苏颂《新仪象法要》所记的机轮要多。
20.柜香漏中国古代有焚香的习惯，或为敬神礼佛，或为去秽除臭。如果香制得均匀，燃烧时空气相对稳定，那么焚香可以作为计量时间的一种方法。南宋王应麟《小学绀珠》卷一“晷漏四法”条记道：“铜壶、香篆、圭表、辊弹。”这香篆就是香漏。因为把香制成曲折盘蛇形（以减少占地面积而又能燃多时间），有如篆字，故称香篆。郭守敬把香放入柜中，大抵是为了保持燃烧时空气流的稳定。至于其具体结构，则无资料可考。
21.屏风香漏这当是把香篆放在屏风上的了。齐履谦说“以备郊庙”①，大概这件屏风是在皇帝祭神、祀祖时，放在神庙里的。郊祀庙祭时有一套复杂的礼仪，其中多有时刻规定，因此，计时仪器是少不了的。使用屏风香漏则兼有计时和敬神的作用。
22.行漏这是供皇帝出行时随行用的。《宋史·舆服志一》记有一种行漏舆，要用六十人来抬着走的。舆中的漏是一种很大的秤漏。郭守敬的行漏是个什么结构，也因缺乏史料已无考。
综观郭守敬一生制造的天文仪器，大多具有设计科学、结构巧妙、制造精密、使用方便的特点，而且绝大多数都注意到仪器安装的校正装置。他的创作博得同时代和后世的高度赞扬。王恂是很高傲的人，每见到郭守敬的新创作，皆为之心服。三百年后，利玛窦在南京看到几件明初从北京运到南京的郭守敬天文仪器，赞叹说：“其规模和设计的精美远远超过曾在欧洲所曾看到和知道的任何这类东西。这些仪器虽经受了二百五十年的雨、雪和天气变化的考验，却丝毫无损于它原有的光荣”①。这几件仪器，后又于清初运回北京。后来在十八世纪康熙、乾隆年间的几次工程中，把郭守敬的作品都当作铜材熔化掉了。这是我国文化史上的一大损失。
二、天文观测郭守敬运用他改进、创造的天文仪器，进行了许多精密的天文观测，从而使《授时历》的编制有了可靠的观测基础。他所从事和领导的观测项目甚多。仅举几例来说明。
1.冬至时刻的测定冬至时刻是中国古代编算一年历日的起始时刻，是极重要的基本数据。郭守敬在大都运用4丈高的木表，每天中午太阳到正南方时观测影长。然后运用数学方法，推算出从至元十三年冬至到十六年冬至的时刻及这期间的三个夏至的时刻。这中间共利用了九十八组观测数据，反复核较，处理是很谨慎的②。
他还从八百多年前的祖冲之所做的冬至时刻观测开始，选取历史上比较可靠的六次冬至时刻的测定，由此定出了一个回归年数值为365.2425日。此数值与南宋杨忠辅的《统天历》（制成于1199年）中的数值相同，是祖冲之以来最精密的数值。郭守敬还进一步证实了回归年长度逐渐缩小的规律，定为每百年往后减少万分之一日。此数虽较现代天文学测定的数值要大（约为后者的16.3倍），但却优于其前辈杨忠辅（杨忠辅的数值约为现代值的34.5倍）。
2.二十八宿距度和星表测定中国古代为了确定日、月、五星的位置和运动，就在天空黄道、赤道带附近选取了二十八组恒星，作为量度日、月、五星位置的相对标志。这二十八组星称为二十八宿。每组星中又选取一颗星作为标志星，称为距星。这一宿的距星到下一宿距星之间的赤道度数（即这二颗星之间的赤经差），称为这一宿的距度。二十八宿的距度是中国古代天文学中的基本数据之一。从西汉太初改历时的唐都起，到郭守敬为止，中国历史上共进行了六次测定。以郭守敬的测定精确度为最高，其误差的绝对值平均为0°.075或4＇.5。
郭守敬还做过全天星表的测定工作。所谓星表通常是指具有坐标位置的恒星目录。中国最早的星表是分载于唐《开元占经》中的《石氏星表》。此表约共121颗星（今本《开元占经》佚失6星），坐标位置取中国式的赤道坐标系一入宿度和去极度。据研究，此表测定于西汉中期约公元前78年①。其后唐、宋两代也都有过全天性的星表测定。其中以宋仁宗皇祐年间（1051—1053）所测星数为最大，在中国古代283星官（星组）1464星范围内大约测定了将近360颗星②。郭守敬的工作应当汇集在他的《新测二十八舍杂坐诸星入宿去极》一卷及《新测无名诸星》一卷两书中。遗憾的是这两书都已不存。从这留下的二个书名可以推想，前一部书是当时有关中国传统的全部1464颗星的星表，后一部则是超出了中国传统星官范围的其他恒星。令人感兴趣的是，郭守敬是选取的哪些无名星？根据什么原则选的？怎么称呼它们？这些星的选取和阿拉伯的星表是否会有某种关系？诸如此类的重大问题，由于此书一佚，均无法解答。
前一部书虽已佚，但最近在北京图书馆藏有一部明代抄本《天文汇钞》，收了一篇题为《三垣列舍入宿去极集》的文献。其中最重要的部分是以图的形式绘出传统星官中的267官1374星（其余16官89星当是某种遗漏），且在741颗星的边上注出了该星的赤道坐标位置。另有633星未注数据。对这份特殊形式的星表，潘鼐认为是元代郭守敬所测无疑①。其理由：（1）其中列有二十八宿距度数值和黄道十二次宿度数值，均与《元史·历志》所载《授时历经》中的数据相同②。（2）各种度值数据均采用百分制，即1度分为100分。这与郭守敬的方法也相同。
对此，有人提出过不同意见，认为所载的不是郭守敬的数据，而是其后一百年左右的明初人所为。其结论主要来自对741颗星的座标数据所作的数理分析；同时指出所绘的冬至、夏至点和春分、秋分点的位置，也是明初的数值③。虽然他和潘鼐的结论不同，但他也承认该书曾受到郭守敬的深刻影响。
3.四海测验中国古代历法都是以首都作为计算基点。许多天文现象，如日，月交食的时刻、食分，当地的昼、夜时间长度等等，却是因地而异。在唐代，僧一行在改历时就提出应派观测队到全国十三个地点进行天文观测，以便使新历能适应全国的要求。元朝比唐朝疆域辽阔，因而郭守敬奏请元世祖批准派出十四个观测队，到全国二十七处地点观测。这次史称“四海测验”的部分结果在《元史·天文志一》有记载。有南海、衡岳、岳台、和林、铁勒、北海和大都七处，各测出当地的北极出地高度（地理纬度）、夏至日中时八尺高表的影子长度（大都为四十尺高表的影长），以及这一天的昼、夜漏刻数（昼夜时间长度）。其余二十一处地点则只留下一项北极出地高度的数据。据对现今可考的二十处观测地点所测北极出地高度计算，平均误差为0°.35。关于检验夏至日正午表影的数据，以大都、和林、岳台三处可考的地点来说只误差几分（现代单位，1度＝60分），最大也仅13分。其精确度是比较高的①。
4.黄赤交角测定地球的赤道面延伸出去，在天球上的投影也称为赤道，或称天赤道。地球绕日公转的轨道面延伸出去，在天球上的投影称为黄道。黄道和赤道之间有个交角，称为黄赤交角。这是天文学上的基本数据。许多历法计算上的问题都要用到这个数据。郭守敬通过观测太阳一年中去极度的数据，得到冬至去极一百一十五度二十一分七十三秒，夏至去极六十七度四十一分一十三秒。这两个数据相减，差数除以2，即得黄赤交角为二十三度九十分三十秒。化成现代使用的单位，则为23°33＇33″.9。运用现代历书天文学公式可推知，当时的黄赤交角值应为23°31＇58″.0②。郭守敬的误差为1＇35″.9。古代的黄赤交角测定值中虽然有比郭守敬更精密的。例如，北宋史序等人编撰的《仪天历》，其误差只23″.9。金代赵知微的《重修大明历》，误差也仅39″.0。他们都比郭守敬要精密。但郭守敬的观测在当时世界上已是非常先进的了。欧洲要直到三个多世纪以后才有可与郭守敬相比的观测出现。
5.一些历元时刻的测定在现代天文学上，各种天文周期都有自己的起算点。这种起算点称之为有关的历元。当然，在推定、编排一部天文年历或民用历书时，都只能用一种历元为主，而把其他历元都归算到这个指定的历元时间系统中去。在中国古代，这些归算的目标和方法都比较特殊。实际上是推算出一个理想的历元，这个历元是各种天文周期的共同起点。因此，这个理想的历元一定离开现实生活的时代十分遥远。古人称之为上元。随着天文观测的进步，各种天文周期的数值测定得越来越精确，这个上元离开现实也越来越远。例如，金代赵知微的《重修大明历》中的上元，离他的编历年份竟有8863万余年。如此巨大的数字要在历法编算中使用，对古人来说是件极其费力的事。因此，到郭守敬时代，王恂等人就决定断然废除上元。他们改用至元十八年（1281）天正冬至（即至元十八年开始之前的那个冬至时刻，实际上在至元十七年内）为其主要起算点。其他各种天文周期的历元，均推算出与该冬至时刻的差距，称为相关的“应”。由此形成一个天文常数系统。在这个天文常数系统中，《授时历》提出了七应。这些应值的确定首先必须依赖有大量的天文观测，有的还须经过复杂的计算，但郭守敬及其观测班子的工作则是个基础。
这七应是：（1）气应。这个数据的含义是，从作为历元的那个冬至时刻与其一个甲子日夜半之间的时间距离。郭守敬等人历时三年多的对日影长度的观测，共取得九十八组数据。并进而推算出这三年中的冬至及夏至时刻，最后确定至元十八年的天正冬至为己未日六刻正。用现代通行的单位说，那是在1280年12月14.06日。按照现代理论的推算，郭守敬等人测定的这个冬至时刻十分精确。（2）转应。历元时刻与其前面一次月亮过近地点时刻之间的时间距离。从所留数据得知，郭守敬测定的那次月过近地点时刻在1280年11月30.87日。用现代理论检验，其误差为0.15日。这是历代测定中最佳结果之一。（3）闰应。历元与其前一次平朔之间的时间距离。（4）交应。历元与在其前一次的月亮过黄白道降交点时刻之间的时间距离。（5）周应。历元时刻太阳所在的赤道宿度位置与赤道虚宿六度之间的角度距离。这是7个“应”中唯一不是时间量的“应”。但因郭守敬等人把一个圆分成365.2575度，其数值和太阳（实即地球）的一个恒星年（相对任一颗恒星，太阳在天上绕行一周的时间）长度365.2575日完全相同。故周应虽然是个角度的量，但却完全可以当作时间量来运算。郭守敬等测定，在历元时刻太阳在赤道箕宿10度。用现代理论检验，其误差为0.22度。在古代诸历中准确度是比较高的。（6）合应。历元与其前一次五大行星平合时刻之间的时间距离。因为每颗行星的平合时刻各不相同，所以，合应实际上是5个数据。（7）历应。历元与其前一次的五星过近日点时刻之间的时间距离。这实际上也是5个数据。
以上十五个数据中，除水星平合时刻和火星过近日点时刻这两个数据的误差较大外，其他都是中国古代历法史上最精确的，或近于最佳的。
三、《授时历》在《授时历》创作中，郭守敬虽然有专业分工，他负责制器和测验，但与整个创作中的其他部分以及总体工作，并非全然无关。《授时历》的编制是一件规模较大的集体工作。工作中既有专人分工负责，也有重大问题的集体讨论。《元史》作者除了在王恂、郭守敬的列传中记叙了改历之事外，还在许衡、杨恭懿等人的列传中也作了相当篇幅的叙述。这些叙述中都透露出《授时历》编撰工作的集体性。按照当代科学史家钱宝琮的观点，甚至可认为，早在刘秉忠、张文谦、张易等人同学的时代，他们就对历法问题有过许多探讨①。
在估价集体工作的体制下郭守敬的作用时，应注意的是：一方面，郭守敬所分工负责的任务一定会吸收别人的智慧和劳动。例如，关于全天恒星星表的测定就不是哪一个人所能独力完成的。至于在测定七应的工作中，也离不开历法的推算和对数据的处理。另一方面，则应该肯定在整个历法的创新和改革中，也凝结着郭守敬的贡献和智慧。在新历颁行后不久主要骨干王恂等因先后去世或辞归②，唯剩下郭守敬继续工作，一人整理了《授时历》全部文稿。因此郭守敬功不可没。这也就是后人把《授时历》的成就都归于郭守敬的重要原因。《授时历》除了在天文数据上的进步之外，在计算方法方面也有重大的创造和革新。主要特点有：1.废除上元积年这一点前面已述。
2.以万分为日法古代的天文数据都以分数形式来表示。例如，《四分
这两历就称81为日法。后人为区别起见，又称《四分历》的4为岁日法，而《太初历》的81则为朔日法。后世各历也都有自己的朔日法或岁日法。唐代李淳风在《麟德历》中曾发明回归年和朔望月统一的日法，但其用分数表示的方式一直未变。但这种分数方式难以立即比较数值的大小，在历法计算中又需作繁杂的通分运算，很不方便，而且随着天文数据测定的进步，古人实际上已逐渐明白，无法用一个分数来完全准确地表达这个数据的值。因此，从唐代开始就有人企图打破分数表达法的老传统。南宫说于唐中宗神龙元年（705）编的《神龙历》即以百进制为天文数据的基础。曹士于唐德宗建中年间（780—783）编的《符天历》更明确提出以万分为日法。但《神龙历》未获颁行。《符天历》只行于民间，被官方天文学家贬称为小历。到《授时历》中始以宏大的革新精神，断然采用以万分为日法的制度，使天文数据的表达方式走上了简洁合理的道路。
3.发明正确的处理三次差内插法方法自隋代刘焯以来，天文学家使用二次差内插法来计算日、月等各种非均速的天体运动。但实际上唐代天文学家已发现，许多运动用二次差来计算是不够精确的，必须用到三次差，但关于三次差内插公式却一直没有找到，只能用一些近似公式来代替。《授时历》发明了称之为招差法的方法，解决了这个三百多年未能解决的难题。而且，招差法从原理上来说，可以推广到任意高次差的内插法，这在数据处理和计算数学上是个很大的进步。
4.发明弧矢割圆术天文学上有所谓黄道坐标，赤道坐标、白道坐标等等的球面坐标系统。现代天文学家运用球面三角学可以很容易地将一个坐标系统中的数据换算到另一个系统中去。中国古代没有球面三角学，古人是采用近似的代数计算方法来解决问题的。《授时历》采用的弧矢割圆术，将各种球面上的弧段投射到某个平面上，利用传统的勾股公式，求解这些投影线段之间的关系。再利用宋代沈括发明的会圆术公式，由线段反求出弧段长股关系的方法是完全准确的。它们与现今的球面三角学公式在本质上是一致的①。
以上这些计算方法上的成就，主要应当归功于王恂，但是，其他学者也为此付出了劳动。特别由于郭守敬是《授时历》的最后整理定稿者，使这些突出的天文学、数学成就得彰后世，故其功不可没。
水利工程上的成就
郭守敬生平的第二项事业是水利。其中最主要的有二项工程：修复西夏水利和开凿通惠河。
1.修复西夏水利所谓西夏水利，是指西夏国首都兴庆府（今宁夏回族自治区首府银川市）一带黄河两岸的水利设施。
这一带早在秦汉时起就陆续开凿了许多河渠，引黄河水灌溉，由此构成一张水渠网，成为西北地区重要的粮仓。但在元朝开国前，历年征战，严重毁坏了原有水利设施，使此地九万多顷良田荒芜，人民常年处于饥饿之中。郭守敬的有关修复水利工作，主要据齐履谦的记述①。
郭守敬对原有的十二条正渠，六十八条大小支渠“因旧谋新，更立牐堰。役不逾时，而渠皆通利”。整修原有的渠道，使之焕然一新，原有已损毁的牐堰也修补更新。总之，这项工程大抵是因旧整修，即令有新渠开挖、新牐堰的建立，也不会很多。所以全部工程才能“役不逾时”，干了不到一个季度，“渠皆通利”。当然，这也是因为涉及千百万人的生计大事，上、下均望其速成。投入和工效一定都是极高的。此事的成功对郭守敬来说，在于他有组织大型工程的才能，干的是造福人民的大好事，因而人民才会在渠上给他立生祠。
2.通惠河的开挖元世祖把首都定在大都（今北京）。为了供养大都臣民的生活，保证帝王、贵族们的享用，许多物资都要从南方运来，其中粮食每年需要从南方征运数百万斤之巨。在金代，就利用华北平原上的天然水道，与自隋唐以来陆续开挖修建的南方运河相连网，建立了一个水上运输系统，从南方往金朝中都（今北京）运送粮食。由于自然条件的限制，这个系统的终点不是在大都，而是在京东的通州。通州距离金中都和后来的元大都还有好几十里路。这一段路程就只能依靠陆运。而陆路运输的成本很高，并且一到雨季，道路泥泞难行，牲口倒毙，粮车陷在泥中，运输效率极低。因此，自金朝起，人们就力图开凿一条从通州直达京城的运河，以解决运粮问题。
通州地势低于大都。开运河，只能从大都引水流往通州，沿途筑一系列牐坝，使南来的船逐级上驶。这样，就必须在大都城周围寻找水源以保证运河的水量。大都城郊有西北方的高粱河，西南方的凉水河，其水量都很小，不敷运河的用水。大都城北几十里处，有清河和沙河，虽有一定水量，却因地形自然流向东南，成为通向通州的温榆河的上游。大都城西几十里的浑河（今称永定河），水量在当时是相当大的。金朝时曾从京西石景山北面的西麻峪村开了一条运河，经过中都注入通州城东的白河。但因浑河中泥沙极多，运河很快淤积；加之夏、秋洪水季节，浑河水极其汹涌，极易泛滥，对运河两岸造成威胁。所以，开凿了十五年之后又复把运河上游的口子填塞了。
这个使命最终落到了郭守敬的身上。而郭守敬也不是一举成功的。
由于金朝开挖的运河，正流经大都城墙的南面。以下往东到通州的一段完全可以利用，因此所需解决的只是上游的水源。
早在元世祖中统三年（1262）郭守敬初见忽必烈时所提的六项水利工程计划中，第一项提的就是此事。他计划把清河的上源中，从玉泉山涌出后东流，经瓮山（今万寿山）南面的瓮山泊（今昆明湖的前身）再向东的那一支流改道向南，注入高粱河，再进入运河。这项计划曾经实施。但因只是一泉之水，只能用于增加大都城内湖池宫苑的用水量，对航运则无裨益。
三年以后，他从西夏回来，又提出了修运河的第二个方案。这个方案是利用金人所开浑河的口子，只是另在金人运河的上游开一道分水河，引回浑河。当河水暴涨，危及下游时，就开放分水河闸口，解除对大都城的威胁。同时考虑到浑河水携来的泥沙问题，他撤去了运河上的闸坝，以使泥沙自然运走。这种设想固然有其道理，但大都到通州运河段的水位下降梯度，虽比大都以上的运河段梯度较小，却仍然是相当大的，没有闸坝控制，巨大的粮船就无法逆流而上。因此，这个方案在至元十三年（1276）实施完成以后，只对运河两岸的农田灌溉及放送西山砍伐木料的作业有所帮助。
此后郭守敬总结了两个方案失败的教训，并在大都周围仔细地勘测水文和地形起伏情况。只是由于他又被调去修历，才把此事搁下了。
至元二十八年（1291），有人建议利用滦河和浑河溯流而上，作为向上都运粮的渠道。元世祖不能决断。派太史令郭守敬去实地勘查。郭守敬探测到中途，就已发现这些建议不切实际。他乘着报告调查结果的机会，提出了许多新建议。其中第一个就是他已筹划多年的大都运河新方案。
这个方案利用他第一次方案中凿成的把瓮山泊流出的一支清河上源引向南面高粱河的河道。为了进一步扩充水源，又把昌平县神山（今称凤凰山）脚下的白浮泉水引入瓮山泊。此后，河水并不径直南下，而是反向西引到西山脚下，再沿西山往南，沿途拦截所有原来从西山向东流入沙河、清河的泉水，使汇成流量可观的水渠，再经高粱河进入流向通州的运河。因为这些都是清泉水源，泥沙很少，运河下游可以无顾虑地建立船闸，使粮船平稳上驶。
元世祖对这一方案极为重视，下令重设都水监，命郭守敬兼管都水监事，并调动几万军民，于至元二十九年春天动工。开工之日忽必烈命丞相以下官员一律到工地劳动，听郭守敬指挥。此举虽然只是个象征，但却反映了元皇朝对这条运河的重视程度和郭守敬在水利方面的权威。整个工程只用了一年半时间，全长一百六十多华里的运河连同全部闸坝工程就完成了。这条运河被命名为通惠河。而自昌平到瓮山泊的一段又特称白浮堰。从此以后，南来的船舶可直驶到大都城中，作为船舶终点码头的积水潭上登时桅樯如林，热闹非凡。通惠河不但解决了运粮问题，而且促进了南货北销，繁荣了大都城的经济。
通惠河工程从技术上来说最突出的是白浮堰线路的选择。白浮泉的发源地海拔约六十米，高出大都城地势最高的西北角约十米。但因两者之间隔有沙河和清河两条河谷地带，它们的地势都在五十米以下，甚至还不到四十五米。因此，如从白浮泉直线南下，则泉水势必沿河谷东流而下，进不了运河。如果用架渡槽的办法，则也只能引白浮一泉之水，起不了多大作用，却费工甚巨。而郭守敬所选的线路，虽然迂回，却保持了河道较小的水位落差梯度，且可拦截沿途所经的诸多水源，使流入运河中的水能有较大的水量。因为从神山到大都城的直线距离有六十多华里（三十多公里），在这么长的路程上地形有几米的起伏那是很微小的。从这里可以看出，郭守敬的地形测量技术实在是很高超的。当代许多地理学家考察了白浮堰线路之后，对郭守敬的成就无不交口赞誉。
光辉业绩
郭守敬的毕生事业和主要成就虽在天文和水利两个方面，但他却是位多才多艺的科学家，在许多领域都有他的创造性的贡献。
他曾提出，以海平面作为基准，比较大都和汴梁（今河南省开封市）两地地形高下之差，这是地理学上的一个重要概念—海拔的创始。
他在西夏水利工程结束后曾溯黄河之流而上，探寻黄河的发源地。由此他成为以科学考察本身为目的，专程探求黄河河源的先驱者。他的探查结果没有记载流传下来。传世的第一部河源考察成果专著为都实所撰《河源记》，此是至元十七年（1280）都实奉忽必烈之命专程考察河源的纪实。先前郭守敬的考察对都实肯定有相当的影响。
他在简仪中使用了滚柱轴承，以使简仪南端的动赤道环可以灵活地在定赤道环之上运转。西方的类似装置是在二百年后才由意大利科学家达·芬奇发明的。
他所创作的大明殿灯漏是第一架与天文仪器相分离的独立的计时器，在中国钟表发展史上具有重要的意义。
他在景符、仰仪等仪器中反复运用了针孔成象原理。这在中国光学史上也是比较突出的成就。
这样一位有多方面杰出成就的科学家，身后自然会得到后人的赞扬和敬仰。
新中国建立后，人们对他更隆重纪念。1959年开馆的中国历史博物馆，在门厅中陈列了他发明的简仪，元代展品中设立有他的胸像和事迹介绍。八十年代初，在他的家乡建立了郭守敬纪念馆。在北京积水潭上的汇通祠中也陈列有关事迹和开挖通惠河的介绍。1962年，邮电部就发行绘有郭守敬像和简仪的纪念邮票共二枚①。1970年，国际天文学联合会以郭守敬的名字命名月球背面的一座环形山，其位置为134°W，8°N。1977年，中国科学院紫金山天文台把小行星2012号正式命名为郭守敬星。中国天文学会受国际天文学联合会的委托，在八十年代举办过几届有关天文学前沿的世界性讲习班，这些讲习班也是以郭守敬的名字命名的。
①齐履谦：《知太史院事郭公行状》，《元文类》卷五○。
①元好问：《遗山集》卷三三。
①杨桓：《太史院铭》，《元文类》卷十七。
①齐履谦：《知太史院事郭公行状》，《元文类》卷五○。
①参见潘鼐、向英著《郭守敬》第二章，上海人民出版社1980年版。
①陈遵妫：《中国古代天文学简史》，上海人民出版社1955年版。
②薄树人：《试探有关郭守敬仪器的几个悬案》，《自然科学史研究》，1982年第4期。
③原文以“经”字代“径”字。下同。
①薄树人：《试探有关郭守敬仪器的几个悬案》，《自然科学史研究》1982年第4期。
①杨桓：《玲珑仪铭》，《元文类》卷十七。
②李迪：《对郭守敬玲珑仪的初步探讨》，《北京天文台台刊》第11期，1977年7月。
③山田庆儿：《授时历の道》，みすず书房1980年版，第207—209页。
④李约瑟：《中国科学技术史》（中译本），科学出版社1975年版，第4卷，第459—464页。
⑤潘鼐：《现存明复制浑仪源流考》⑥潘鼐：《现存明复制浑仪源流考》。
①何高济译，《利玛窦中国札记》，第4卷第5章，中华书局1983年版，第353页，中译者注②。
②薄树人：《试探有关郭守敬仪器的几个悬案》，第2节“关于玲珑仪”《自然科学史研究》1982年第4期。
①此器在《四库全书》本的齐履谦《知太史院事郭公行状》中称为“灵台水浑莲浑天漏”。显然有误。
①齐履谦：《知太史院事郭公行状》，《元文类》卷五○。
①何高济译：《利玛窦中国札记》，中华书局1983年版。
②关于具体计算方法，参阅潘鼐、向英著《郭守敬》第三章（一），第67—72页。
①孙小淳：《汉代石氏星官研究》，《自然科学史研究》13卷2期，1994年。
②潘鼐：《中国恒星观测史》第3章第3节，学林出版社1989年版。
①潘鼐：《中国恒星观测史》第七章第一节，学林出版社1989年版。
②潘鼐：《中国恒星观测史》第七章第一节，学林出版社1989年版。
③孙小淳《〈三垣列舍入宿去极集〉提要》，《中国科技典籍通汇·天文学卷》，河南教育出版社1995年版。
①潘鼐、向英：《郭守敬》，第三章第（三）节，第79—86页。
②现代历书天文学关于黄赤交角ε值的计算公式是由美国天文学家纽康（SimonNewcomb）于1901年提出的，公式为：ε＝23°27＇08″.26—46″.845T－0″.00591T2＋0″.00181T3式中T是从1900年起算的儒略世纪数（1儒略世纪＝36525日），往过去为负。
①钱宝琮：《授时历法略论》，初刊于《天文学报》四卷二期， 1956年12月。收入中国科学院自然科学史研究所编的《钱宝琮科学史论文选集》，科学出版社1983年版，第352—376页。
②王恂卒于至元十八年。许衡于至元十七年告病辞归，次年卒。杨恭懿至元十八年辞归后即不再返回朝廷。张文谦于至元十九年拜枢密副使，次年病故。张易于至元十九年受他人案件的株连而被处死，等等。
①钱宝琮：《授时历法略论》，文中专有一节讨论弧矢割圆法，见《天文学报》四卷二期，1956年12月；收入《钱宝琮科学史论文选集》，科学出版社1983年版。
①齐履谦：《知太史院事郭公行状》，《元文类》卷五○。
①《中国古代科学家》（第二组共8枚），编号纪92，1962年12月1日发行。郭守敬像为第7枚，简仪为第8枚。
生平事迹
郭守敬，字若思，顺德邢台（今河北省邢台市）人，生于元太宗三年（1231），卒于仁宗延祐三年（1316），是我国杰出的天文学家，数学家和水利工程专家。
郭守敬的父亲情况史传未载，有可能是早逝。他是由祖父郭荣抚养成人的。郭荣是饱学之士，尤精通数学、水利。在郭荣的教养下，郭守敬从小勤奋好学。值得称道的是，他在少年时代就养成了很强的动手能力。有当时人的记载①，他曾根据书上的一幅插图，用竹篾扎制出一架测天用的浑仪，而且还堆土做了一个土台阶，把竹制浑仪放在上面，进行天文观测。他还曾根据北宋燕肃一幅拓印的石刻莲花漏图，弄清了这种可以保持漏壶水面稳定的、在当时非常先进的计时仪器的工作原理。
当时，忽必烈的重要谋士、大学问家刘秉忠因守父丧，正在邢台西南武安县境的紫金山中结庐读书。从学者有后来的大数学家王恂。郭荣和刘秉忠是好友，知此消息后，就把少年郭守敬送到刘秉忠门下深造。这一段时间虽然不长，但对郭守敬后来的一生事业却很重要。
刘秉忠守丧期满后回到了忽必烈身边。郭守敬则回到了他的家乡。这时的郭守敬已小有名声。在他成年不久，忽必烈派来安抚邢台一带地方的脱兀脱和刘肃等，发起了整治开挖水流河道的工作，并专门聘请郭守敬承担工程的规划设计。郭守敬依仗家传绝学，再加上认真的调查勘测，很快就弄清了因战乱而破坏了的河道系统。随后的疏浚整治工程，使漫的水泽各归故道，并且在郭守敬的指点之下一举挖出已被埋没了近三十年的石桥遗物。这项工程受到了时人的传颂。著名文学家元好问曾专门为此写了一篇《邢州新石桥记》①，文中的郭生指的就是年轻的郭守敬。
1260年，忽必烈登上了皇位。他任命刘秉忠的同学张文谦到大名路（今河北省大名县一带）等地任宣抚使。张文谦把郭守敬带在身边协助他办事。郭守敬所到之处，做了许多河道水利的调查勘测工作。他还在大名召集匠人，鼓铸了一套他少年时所探究的莲花漏，不过，大概他把作为装饰性的莲花作了改动，因此改称为宝山漏。
中统三年（1262）春，张文谦向忽必烈推荐了郭守敬。忽必烈即在开平府（后称上都）召见了他。召见时，郭守敬向忽必烈提出了六项水利工程计划。由于他掌握了丰富的实际资料，因而所提计划都很具体而有明显的说服力。忽必烈对他大加赞赏，当即任命他为提举诸路河渠，掌管各地河渠的整修和管理工作。次年，他又升任银符副河渠使。
至元元年（1264）初夏，忽必烈派唆脱颜与郭守敬二人去西夏一带视察河渠水道。几个月后又派张文谦作为朝廷的代表治理西夏（相当于今甘肃东部、宁夏、内蒙西部一带）。郭守敬在张文谦的领导和支持下，修复了黄河中、上游许多被破坏了的渠道，受到西夏人民的爱戴。当地人民曾在渠头上为他建立生祠。
至元二年，郭守敬升任都水少监。至元八年（1271）升任都水监。至元十三年，都水监并入工部，他被任为工部郎中。
这一年，元兵攻克南宋首都临安，全国统一在望。忽必烈想起了已于两年前去世的刘秉忠曾在生前提出过的建议：改革历法，编修新皇朝自己的历法。为此，他下令设立太史局（后改称太史院），任命张文谦和另一位大臣张易主持；任命当时任太子赞善的王恂负责具体组织工作，后正式任他为太史令。王恂除了调集大都、临安等地的天文官外，还聘请了其他一些专家，包括当时的理学家许衡和杨恭懿等。其中王恂的老同学工部郎中郭守敬则是最重要的一个，他后来被任命为同知太史院事。据当时人记载，参加修历的主要人员有明确的专业分工①。其中王恂负责历法的推算，而郭守敬则负责仪器和观测。郭守敬在这项工作中发挥了惊人的创造力，发明了十多件天文仪器，把我国光辉的天文仪器制造传统推向了新的高峰。郭守敬还组织并亲自进行了大量的天文观测，为新历提供了坚实的观测基础。
新历于至元十七年（1280）冬，初步告成，被定名为《授时历》，并颁发了次年的历书。但从至元十八年起，几个主要的修历人员都先后去世或退休，于是，只好由郭守敬担负起了整理和总结新历资料的浩大工程。经过几年的时间，他整理成《推步》（历法计算的步骤与方法）七卷、《立成》（各种天文计算表）二卷、《历议》（评议历代历法的各种得失及新历的优点所在）三卷等书，从而使《授时历》得以流传后世。至元二十三年（1286），郭守敬被任命为元皇朝的第二任太史令。于是，他把上述几种书，以及《转神选择》二卷、《上中下三历注式》十二卷等书一并进呈朝廷。其后，他还著有《时候笺注》（研究二十四节气、七十二候的物候现象和人们届时应从事的政治和社会活动）二卷、《〈授时历）修改源流》一卷、《仪象法式》二卷、《二至晷景考》（研究历代用圭表测影定冬、夏至时刻的问题）二十卷、《五星细行考》五十卷、《古今交食考》一卷、《新测二十八宿杂坐诸星入宿去极》一卷、《新测无名诸星》一卷、《月离考》一卷等重要著作，也都藏于官府。但这些书现都已失传，令人十分痛惜。
至元二十八年（1291），有人提出利用滦河水道，向上拉纤可到上都；又有人提出，从麻峪经泸沟（即今永定河）往上可到上都附近的荨麻林（今河北省万全县西北）。忽必烈派郭守敬去调查。郭守敬调查表明，这两种方案都是不可行的。在向忽必烈汇报时，郭守敬提出了自己的十一项水利计划。其中第一项是提出修一条从大都到通州（今北京市通县）的运河，以解决向大都运粮的问题。忽必烈对此极为重视，并决定重新设立都水监，由郭守敬领导，把开凿运河作为首要任务进行安排。至元三十年秋天，这条全长一百六十多华里的通惠河工程全部完成。从此，南来的船舶经大运河可以一直驶进大都城中。
此后，郭守敬身兼天文和水利两方面的领导工作。至元三十一年，他升任昭文馆大学士、知太史院事，但仍然要他过问水利方面的工作。元成宗大德二年（1298），有人提议在上都西北的铁幡竿岭下，开出一条宣泄山洪的渠道，向南通往滦河。成宗把郭守敬召到上都商议。郭守敬根据地势和历年山洪资料，指出这条宣泄山洪的渠道要宽到五十步至七十步（约80—115米）。但经办此事的人认为郭守敬太夸大了，就把他定的宽度缩减了三分之一。谁知次年山洪暴发时，果然因渠道太窄，泛滥成灾，还险些冲了元成宗的行帐。元成宗在避水时叹道：“郭太史真是神人呐，可惜没有听他的话！”
此后，郭守敬的声望更高了。大德七年（1303），元成宗诏令，年满七十岁的官员都可以退休，独对郭守敬，因为许多工作都要依靠他，故破例不准他退休。由此形成了一个新例：太史院的天文官都不退休。这样，郭守敬就一直工作到去世。元仁宗延祐三年（1316），郭守敬去世，享年八十六岁。
天文工作上的贡献
郭守敬在天文学方面的主要贡献有：制造仪器、从事天文观测和为《授时历》作整理定稿工作。
一、天文仪器的制造郭守敬为完成《授时历》工作创制了十二件天文台上用的仪器，四件可携至野外观测用的仪器。这十二件天文台上用的仪器，在郭守敬的门人齐履谦为他写的传记中全有记载，每件还附有极简洁的一二句赞语①。但不知什么原因，这篇传记中合计仪器总数为十三件。由此后世研究家颇为迷惑。但细检齐履谦所记叙及其他各种史料，实为十二件。至于四件可携式仪器，则在齐履谦也全部罗列。这十六件仪器中，有九件在《元史·天文志》有较详细记载：简仪、候极仪、立运仪、浑象、仰仪、高表、景符、闚几和正方案。其中仅正方案被称为可携式仪器。
1.简仪这是郭守敬发明的最重要的天文仪器。它是把中国传统的天文仪器浑仪加以简化、改造而成。浑仪是一种赤道装置。它由七八个同心圆环组成，共分三层。外层古称六合仪，起固定架构作用，也可以测读地平方位角等读数。中层古称三辰仪，包括赤道环、黄道环和白道环，可以读取赤道度数、黄道度数和白道度数。内层是个双层的圆环，古称四游仪。在这双层环中夹有一条两端开口、供瞄准天体用的窥管。四游环可以绕整个仪器的极轴旋转；窥管则可以在夹层中绕整个仪器的中心旋转。这样，就可以把窥管瞄向星空中的任何一点。浑仪是中国古代在天文仪器方面的一大创造，它在世界天文仪器史上也占有突出的地位。只是，由于浑仪窥管外的环圈较多，有相当一部分空间被遮蔽了，使用效率受到一定影响。
郭守敬的简化是省去与黄道度数、白道度数有关的圆环。把测读地平方位角的圆环分离出来，形成一架独立的仪器—立运仪。郭守敬的改造则是改造了同心结构，把六合仪和三辰仪中的两个赤道环都移到四游环的南端，用一组云柱架子斜托着它们。四游环转动轴的北端则用另一组云柱结成一个小圆环，让圆环中心套着轴的北端。转动轴安装得和天球周日转动轴（也就是地球自转轴）相平行。这样就形成一种新形式的赤道装置。这种新形式的赤道装置后在现代天文望远镜中得到广泛运用。这是简仪成功的第一个事例。
由于撤去了许多圆环，在四游仪的上方一无遮拦，观测范围和效率就有了增加和提高。
郭守敬对浑仪中的窥管也作了改革。传统的窥管是个细长的正方立柱管，柱的两端开有圆孔。这种细长的中空的立柱体在加工精度上是比较困难的。郭守敬撤去了柱管的三个面，只剩下一面可贴着四游仪环面转动。这一面就像一根尺子，故改称窥衡。窥管两头开观测孔的小正方板现在是垂直立在那条尺上的，故称为立耳。这样的构造比管子容易加工得多。
由于中国古代测量天体的赤道坐标位置时有自己的特点：相当于现代天文学上所谓赤纬的量，中国古代用其余角——去极度来表示；相当于现代天文学上所谓赤经的量，中国古代用入宿度（即待测天体与其前在二十八宿中某宿的距星的赤经差）来表示。前者在简仪中的四游仪上可以直接读出；后者在浑仪的情况下是采取二次观测法，即把窥管先对准某宿距星，从赤道环上读出四游仪所对的读数；然后快速转动四游仪，把窥管对向待测天体，再从赤道环上读出此时四游仪所对的读数。前后两数相减，可得天体的入某宿几度的数值。因为二十八宿的距星各有不同的去极度，与待测天体的去极度一般来说也都不同，因此，即使是一个熟练的观测者，在前后二次观测之间也都必须用相当一段时间。而天球是在不停转动的。这就使前后二次观测所得的差数，并不是这两个天体之间真正的赤经差，而是有一定的误差。针对这个情况，郭守敬又在简仪上增加了二个部件。它们都是一条长尺，称为界衡，贴在简仪南部的二个赤道环上，中心可绕着四游仪转动轴旋转。每根尺子的两端都用细铜线连接起来，细铜线又穿过四游仪的北极轴端。于是，二线一尺形成一个平面。观测时，可以由两个人分别把一根尺的二条线对向距星或待测天体，这样可以同时得到二个读数，其赤经差的误差，较之浑仪观测所得就可降低。就是在一人观测的情况下，因为每次不需要瞄准一个点，而是瞄向这个点所经过的线，因此所需的瞄准时间也就少得多。这样，也就降低了误差。
100刻。每度后来又可分成4等分，每刻则分成6等分。这样古代浑仪的最
与古浑仪相比，读数精度大大提高了一步。
简仪的二个赤道环是重叠在一起的。一个固定不动，好像浑仪的六合仪中的赤道环，上刻时刻制度。一个可以转动，好象浑仪三辰仪中的赤道环，上刻周天度数。为了增加可转环的灵活性，郭守敬在二环中间装了四个滚柱，这种机械装置可说是近代滚柱轴承的祖先。西方类似的发明是郭守敬之后两个世纪的意大利大科学家达·芬奇所作出的。
2.候极仪古人早就知道，北极星不在正北极点上，在周日运动中北极星绕不动的北极画出一个圆。在安装浑仪时应把浑仪的转动极轴对准这个北极星轨迹的圆心。郭守敬发明了候极仪，专门用来作这件事。这件仪器的主要功用是校正仪器极轴的安装位置。故在简仪中就包容了它。在简仪南北极轴的大小两圆环中都有斜置的正交十字铜条，十字中心就是极轴中心。北极一端的十字上叉处又置一小圆环，圆环中有正置的正十字铜条。十字中心离北极轴中心有个固定的距离甲。简仪南极轴处也有一组斜置的正交十字铜条。其上叉处置一方铜板，板中心开一小圆孔。圆孔中心和南极轴中心的距离也正是甲。因此，从南端的方铜板小孔中心到北端小十字中心的连线正与四游仪的转动轴中心线平行。通过南端小方铜板的中心向北观测，应看到北极星在北端的小圆环内。当北极星的轨迹所画出的圆，其圆心正好和小十字中心重合时，简仪的极轴就被安装正确了。否则，就应加以调整。
3.立运仪这是把浑仪中的地平环分离出来而构成的一个独立装置。一个地平环水平地卧在地上（仪器底座上），另一个可转动的环立在地平环的中心，名为立运环。立运环的转动轴就是从天顶到地平环中心的铅垂线。立运环上也附有一条窥衡，可以用它来观测天体的地平高度（或天顶距，它与地平高度互为余角）。至于地平方位角的测定问题，则因没有史料留存，故只能推测：或许它是和简仪相仿，有一条界衡，它的两端用细线和立运环转动轴的上端相连。转动界衡，让二线与所测天体重合，就可从界衡所在读得天体的地平方位角。也可能不用界衡，而是从立运环的所在估读出天体的地平方位角。一般而言，古代对于地平方位角和地平高度这样的量的测量精度要求不高，因此，从立运环所在进行估读也不是件不可以的事。现今史料所传这件立运仪是安装在简仪北部的云柱架下的。实际上它是一件简仪的附属装置。虽然如此，这件能同时读出地平高度和方位角的仪器，在古代世界还是很有意思的。直到清初，西方传教士南怀仁在北京制造的6件仪器中，有2件是分别测读地平方位角的地平经仪和测读地平高度的地平纬仪。在中国，把二者功能合在一起的地平经纬仪则是法国传教士纪里安在康熙五十三年（1714）所制造的。
4.仰仪这是一台铜制的、中空的半球面形仪器，形状像口仰天放着的锅。半球的口上刻着东南西北四个方向。半球内面刻着与观测地纬度相应的赤道座标网。半球口上还用一横一竖两根十字交叉的竿子架着一块小板，板心开一小孔，孔的位置正在半球面的球心上。太阳光通过小孔，在球面上投下一个圆形的像，坐标网上立即可以读出太阳此时在天球上的位置。更妙的是，当发生日、月食时，仰球上的日像或月像也相应地发生亏缺现象。这时，从仰仪上可以观测出日、月食发生的方位，亏缺部分（称为食分）的多少，以及各种食相发生的时刻等等。这件仪器后来传入了朝鲜，朝鲜人民把带小板的十字竿改成一根尖顶的竿，尖顶位置则正在半球面的中心。这件改造了的仰仪能更精确地测读地方真太阳时，因而改名仰釜日晷。现今在汉城就还有这样的实物遗存。
5.浑象这是一台天球仪，与现代常见的天球仪本质一致，只是安放在一只方柜子中。方柜的面相当于地平面，半个天球露在方柜之上。柜内有机轮系统，可以用漏壶流水来推带，使之与实际的天球作同步运转。这是对张衡所创的水运浑象传统的继承。
6.高表古代有一种测量二十四节气时刻的仪器，叫做圭表。表是根垂直立在地上高八尺的竿子或铜柱。圭是从表足下往北延伸的一根平放的尺子，大多为石刻。每天正午，太阳投射出表影落在圭面上，测量影子的长度，可以推算出冬至和夏至的时刻，等等。圭表是件简单而实用的仪器、但有个缺点，主要由于空气中微粒尘埃的漫射，使表影的顶端界线模糊不清，这就影响了观测精度。
郭守敬将圭表加以改造，使之成为原来表高的五倍，故称高表。绝对数据增长到五倍，同样的测量误差，其影响就缩小了五分之四。关于这一点，后世的天文学家也都认识到，所以，从阿拉伯世界到印度，天文仪器巨型化的趋势是很明显的。这方面，郭守敬是先行者。
郭守敬的高表还有一个特点。就是表顶不是完全的实体，实体只有三十六尺。在其顶上升起二条龙，抬着一根水平的、直径三寸的横梁。梁心到表顶为四尺，梁心到圭面为四十尺。郭守敬这样设计的缘故，下文自明。
7.景符这是一件与高表相配合使用的仪器。一个座架，斜撑一块宽二寸、长四寸的小铜板。铜板中心开一小孔。利用针孔成像原理，使太阳光在小铜板背后成一光亮的像。把景符放在圭面上合适的地位，当太阳过子午线时太阳和表梁在圭面上投出清晰的影子：一个个米粒大小的光点，中间有一条纤细的黑线。测量从表足到那根黑线的距离，这就是高表的影长。由于使用了针孔成像原理，景符到圭面的距离很短，这样，阳光漫射使表影模糊的问题就解决了。
古代测量影长的读数精度只能到寸以下的分。再往下，因为影端模糊的问题就不再有意义，而且在刻度上求分以下的单位也很困难。郭守敬由于使用了景符，测量的读数精度就可以到分以下的厘；厘以下还可估计到五毫。至于他在量度实践中使用的是什么方法可达到厘和估到五毫的精度，则史无明文，无可猜测。
8.闚几这件仪器也是配合高表使用的。古代圭表技术只能用于测量太阳影长，月亮和星星的光太暗弱，没有人想过用圭表来对它们进行测量。于是，郭守敬发明了闚几来从事这件古人所没有想到的事。
闚几是一张长六尺、宽二尺、高四尺的桌子。桌面上开一道长四尺、宽二寸的缝。缝两旁刻上尺、寸、分的刻度。把闚几放在圭面上，人蹲在几下进行观测。几面上横放着二根长二尺四寸、宽二寸、厚五分的木条，称为闚限。它们的两头各比闚几长出的二寸处，又各往下增厚二寸。这样它们就可卡紧在闚几边上。观测时，用于挪动南闚限，使其北边沿和高表横梁的下边沿及待测天体的下边相重，然后再挪动北闚限，使其南边沿和横梁上边沿及天体的上边重合。折取二闚限位置的中线所在就可得到天体的表影数。不过要注意，这里的表高就只有三十六尺。如果要求四十尺表的“影长”，当然还要经过一定的折算。
重要的是，据《元史·天文志》记载表明，当时曾提到过，用远隔两地的高表、闚几，同日观测，由此可以推算星、月离地面的距离。这样的测定，在过去是从来没有过的。只可惜当时的推算方法和实测事例都没有留传下来，否则，将为中国天文学发展史提供许多重要的信息。
9.正方案这是一件所谓供行测，即可以携带到野外用的仪器。是一块四尺见方，厚达一寸的板。板四周开水沟，放水，可以调整仪器的水平位置。从板中心画一个十字直达边缘。以十字中心为心，作十九个同心圆，圆的半径从一寸起，一寸一寸增加。最外第十九个圆则画成双重的，以便中间画上刻度线。最内层的半径一寸的圆上做成一个高二寸的圆台。中心打洞，洞内立表。表高一尺五寸，冬至时则改为一尺高表；夏至时则改成三尺。改变表高的目的是使一年四季里中午表影一定会落在最内圆之外、最外圆之内。
每天从日出开始，监视正方案上表影的移动情况。每当表影正落到一个圆上时，就记下记号。表影从西方进来，到中午时影最短，下午则影从东方出去。一般来说，在一个圆上有二个记号。将这二个记号折取其中，中点和圆心相连就得南北线。如果每个圆上都得到相同的南北线，则这条线就是正确的南北线。当然，做这种观测，应当在太阳赤纬变化很小时效果较好。这主要是在夏至或冬至前后的若干天内，若在春分或秋分日附近，则太阳赤纬的变化较大，此时只能使用正午前后少数几个圆上的观测结果。
有意思的是，正方案也可以用来测定北极方向。把正方案侧立在已确定了的正南北线上。用某种方法测定当地的北极出地高度（也即地理纬度）。然后从十字中心斜引一线，与水平横线所成角度和地理纬度相等，则斜线所指即为北极。以后在安装其他仪器时，极轴所指即以此正方案上的斜线所指为准。
以上九件在《元史·天文志》中有介绍的仪器，研究的人较多，大体对其结构、功能和使用方法都已有比较清楚的了解①。其他七件中有二件可从朝鲜《李朝实录》中找到一些史料。这二件中的一件是固定安装在天文台上用的，叫星晷定时仪；另一件是所谓可携式的“行测之器”，叫悬正仪。
10.星晷定时仪根据齐履谦记述和赞语，有人判断所描述的是具赤道式日晷。故提出星晷和定时仪是两件仪器①；其实齐履谦的记述有脱文，失落了赤道式日晷的名称和星晷定时仪的赞语②。但从《李朝实录》卷七十七《世宗实录》十九年丁巳四月甲戌日条记载，这些猜测都错了。星晷定时仪应是一件仪器，《李朝实录》称之为日星定时仪。星晷定时仪中的“星晷”二字应理解作星和晷，这个晷字作日影解，而不作测日影定时刻的仪器器物解，否则将和定时仪中的仪字意义重复。但星晷二字合在一起，确实有这么一种器物。例如，《明史·天文志一》中就几次提到星晷这种仪器。所以，星晷定时仪一词确实容易引起误会。朝鲜学者改称为日星定时仪，是很合理的。
关于这件仪器的具体情况，齐履谦留下的四句赞语：天有赤道，轮以当之；两极低昂，标以指之。
此外则无考。但在《李朝实录》中却有对日星定时仪结构的详细介绍，此段文字转录于下：（日星定时仪）其制用铜为之。先作轮，势准赤道，有柄。轮经（径）③二尺，厚四分，广三寸。中有十字距，广一寸五分，厚如轮。十字之中有轴，长五分半，经二寸。北面剡掘，中心存一厘以为厚，中为圜穴如芥。轴以贯界衡，穴以候星也。
下有蟠龙，含轮柄。柄厚一寸八分，入龙口一尺一寸，出外三寸六分。龙下有台，广二尺，长三尺二寸，有渠有池，所以取平也。轮之上面，置三环。曰周天度分环，曰日晷百刻环，曰星晷百刻环。其周天度分环居外运转，外有两耳，经二尺，厚三分，广八分。日晷百刻环居中不转，经一尺八寸四分，广、厚与外环同。星晷百刻环居内运转，内有两耳，经一尺六寸八分，广、厚与中、外环同。有耳，所以运也。
三环之上，有界衡，长二尺一寸，广三寸，厚五分。两头中虚，长二寸二分，广一寸八分，所以不蔽三环之画也。
腰中左右，各有一龙，长一尺，共捧定极环。环有二。外环、内环之间，勾陈大星见；内环之内，天枢星见。所以正南北赤道也。外环经二寸三分，广三分。内环经一寸四分半，广四厘。厚皆二分。些少相接如十字。界衡两端虚处，内外各有小穴。定极外环两边，亦有小穴。以细绳通贯六穴，而结于界衡之两端，所以上候日星，而下考时刻者也。
周天环刻周天度，每度作四分。日晷环刻百刻，每刻作六分。星晷环亦刻如日晷。但子正过晨前子正，如周天过一度为异耳。
上述文中把日星定时仪的大小、结构乃至一些细部都已说得很清楚，可不必再作解释。唯一不太清楚的是，捧定极环的二条升龙立在什么地方？所谓“腰中左右”究竟是什么涵义？此事幸得上引《李朝实录》原文之后还有一段铭文：“双龙挟轴，擎定极环”。可见，这：“腰中”就是“贯界衡”的轴。这两条龙当然不会站在界衡之上，因为这样将要妨碍观测。应当是站在赤道轮中的十字距上的，而且从器物本身平衡的考虑，可以推知当是在子午向的那条铜距上的。
仔细推敲这段文字，可以发现日星定时仪与郭守敬的星晷定时仪可能有细节上的差别。这主要是指郭守敬的星晷定时仪中是“两极低昂，标以指之”，也就是说，星晷定时仪中未必有一套定极环等等的结构，而是用某种方法测定了北极方向之后，用一根指标竿固定地对向它就行了。这样做当然不如有定极环可以随时观测校正仪器的极轴方向；反之，它因为没有二条立龙，故此仪器的使用范围要比日星定时仪来得宽广些。两者各有利弊。
11.悬正仪这件可携式仪器过去被推测为是一种校正仪器垂直方向的辅助仪器。①究竟具体结构是什么？中国文献中未查到资料。查《李朝实录》，在卷七十七“十九年丁巳四月甲戌”条下记有戊午年春承旨金墩所作的一篇记。记中描述了世宗十四年壬子秋七月起，世宗命大提学郑招、艺文馆提学郑麟趾、中枢院使李藏及户曹判书安纯等制造天文仪器，修筑简仪台、报漏阁、钦敬阁等工程情况。还提到了当时所造的多种日晷。其中有一种称为悬珠日晷，结构如下：方趺，长六寸三分。竖柱趺北，凿池趺南。画十字于趺北。悬锤于柱头，与十字相当，则不必水准，自然平整。画百刻于小轮。轮经三寸二分。有柄斜贯于柱。轮心有窍，贯一细线，上系柱端，下系趺南。线影所在，便知时刻。
这是一台赤道式日晷，只是用北高南低的一根线来代替通常的晷针罢了。令人感兴趣的是悬锤校正的设备和方法。在趺北画一个十字，从柱头悬一个小重锤下来，当它与十字中心相当，就使仪器自然得以平整。这种装备和校正方法，在天平日晷、定南日晷等仪器中曾多次使用。这应是郭守敬所发明的悬正仪。正象郭守敬的候极仪成为简仪中的一个装置一样，悬正仪也可以不是一件独立的仪器，而是一件辅助装置。
此外，还有玲珑仪、证理仪和日月食仪三种固定式仪器，丸表、座正仪二种可携式仪器尚未有可考的资料以使研究者们得到肯定一致的结论。
12.玲珑仪关于此仪，郭守敬当年的下属太史院校书郎杨桓写过一篇铭文①；明代叶子奇的《草木子》中也有一段关于玲珑仪的记载。根据这些记载，有人判断玲珑仪是一种演示性的假天仪②。人进入仪器腹中去，仪器本身是个中空的大圆球，球面上凿着与恒星位置相应的孔。人在里面可以看到星星的东升西落。也有人认为这是件假天仪式的浑象，天球的制作材料是与玉相类似的半透明的玻璃③。
有人根据意大利传教士利玛窦的札记，认为这是一件精巧的浑仪④。更有人指出这件浑仪是明代仿制浑仪的母体⑤。据说晚清时来华的伟烈亚力（Alexanderwylie，1815—1887）就认为利玛窦在札记中所描述的浑仪是玲珑仪⑥。后来德礼贤（DasqualeM.d'Elia）在编辑《利玛窦全集》及研究利玛窦札记中所述在南京所见天文仪器那一大段文字时，也将利玛窦所见到的浑仪释为玲珑仪①。但事实上这都是误解。利玛窦本人并未说过自己在南京所看到的那架精美巧妙的浑仪有个玲珑仪的名字。
有人详细分析了杨桓《玲珑仪铭》等较可靠的资料后认为，只有解释作假天仪式的浑象才比较合理②。其中最主要的是对铭文中“十万余目，经纬均布”，“遍体虚明，中外宣露”，“人由中窥，目即而喻”等句的理解，就观测用的浑仪来说是非常困难的。
13.证理仪齐履谦赞语曰：“日有中道，月有九行，公则一之，作证理仪。”所谓“证理”是指证明古人称月行九道，实即一道的道理。至于如何用仪器来证明法，因无线索，无可推测。
14.日月食仪齐履谦赞曰：“历法之验，在于交会，作日月食仪。”这件仪器是用来验证历法的，所以可能是一件具有实测性能的仪器。究竟如何，尚待研究。
15.丸表据推测可能是一具新型的天球仪式日晷。在一个可携式天球上刻着时角一赤纬坐标网。天球赤道上安设一条赤道环。赤道环上装一根可沿环移动的、垂直天球面的晷针。当把这样的丸（天球）表（晷针）携到一个新的地点后，先把丸表的极轴校正得与天的极轴相平行。丸表上的赤道环与天赤道平行。这时移动晷针，当它的日影最短时，从晷针所在的时角线即可得知地方真太阳时。
16.座正仪这当是一种校验大型仪器底座的水平位置是否正确的仪器。可能是从中国传统的水平仪发展而来的。
以上十六件仪器都是郭守敬在为创编《授时历》的工作期间所发明制造的。而在创编《授时历》工作前后，他还制造并创作了一些天文仪器，其中多数是计时器或与计时器有关的仪器。工作之前制作的仪器有：17.宝山漏这是根据燕肃莲花漏的原理建造的。
工作之后所制作的仪器有：18.大明殿灯漏又称七宝灯漏。作于元世祖晚年。此仪器《元史·天文志》有关于外形方面的记载。这是一架高一丈七尺的大型仪器，有四层。顶层是代表日、月、参星、心星的四个神，每天左旋一周。次层有龙、虎、鸟、龟四种动物像，分布在东、西、南、北四方，每到一刻就跳跃鸣叫。再次层有十二神分执时辰牌。到某个时辰，该神就在四门通报。另外有一个人，常以手指时刻牌上的刻数。最末层在四角上各设钟、鼓、钲、铙，各有一人，一刻鸣钟，二刻打鼓，三钲，四铙。所有动力机构和主要传动机构都藏在一个柜子里，用水来推动。
此器因较复杂，也没有关于机械部分的任何说明流传下来，故迄今尚未有人作过研究。
19.灵台水运浑天漏① 制于元成宗大德二年（1298）。这又回到古代的水运浑象传统，既有报时刻的部分，又有演示天球周日转动的部分。这项仪器的复杂程度远较原来的要高。其中主要是有日月二环，在随天球作周日转动的同时，又要表演其在星空间的周期运动。因为日、月的运转速度不同，且日的视运行轨道——黄道，与天球转动的赤道不在同一平面上，这种机械结构就比黄赤道在同一平面时的结构要复杂得多。据有关史料记载，这台仪器的机轮共有25个，那的确比宋代苏颂《新仪象法要》所记的机轮要多。
20.柜香漏中国古代有焚香的习惯，或为敬神礼佛，或为去秽除臭。如果香制得均匀，燃烧时空气相对稳定，那么焚香可以作为计量时间的一种方法。南宋王应麟《小学绀珠》卷一“晷漏四法”条记道：“铜壶、香篆、圭表、辊弹。”这香篆就是香漏。因为把香制成曲折盘蛇形（以减少占地面积而又能燃多时间），有如篆字，故称香篆。郭守敬把香放入柜中，大抵是为了保持燃烧时空气流的稳定。至于其具体结构，则无资料可考。
21.屏风香漏这当是把香篆放在屏风上的了。齐履谦说“以备郊庙”①，大概这件屏风是在皇帝祭神、祀祖时，放在神庙里的。郊祀庙祭时有一套复杂的礼仪，其中多有时刻规定，因此，计时仪器是少不了的。使用屏风香漏则兼有计时和敬神的作用。
22.行漏这是供皇帝出行时随行用的。《宋史·舆服志一》记有一种行漏舆，要用六十人来抬着走的。舆中的漏是一种很大的秤漏。郭守敬的行漏是个什么结构，也因缺乏史料已无考。
综观郭守敬一生制造的天文仪器，大多具有设计科学、结构巧妙、制造精密、使用方便的特点，而且绝大多数都注意到仪器安装的校正装置。他的创作博得同时代和后世的高度赞扬。王恂是很高傲的人，每见到郭守敬的新创作，皆为之心服。三百年后，利玛窦在南京看到几件明初从北京运到南京的郭守敬天文仪器，赞叹说：“其规模和设计的精美远远超过曾在欧洲所曾看到和知道的任何这类东西。这些仪器虽经受了二百五十年的雨、雪和天气变化的考验，却丝毫无损于它原有的光荣”①。这几件仪器，后又于清初运回北京。后来在十八世纪康熙、乾隆年间的几次工程中，把郭守敬的作品都当作铜材熔化掉了。这是我国文化史上的一大损失。
二、天文观测郭守敬运用他改进、创造的天文仪器，进行了许多精密的天文观测，从而使《授时历》的编制有了可靠的观测基础。他所从事和领导的观测项目甚多。仅举几例来说明。
1.冬至时刻的测定冬至时刻是中国古代编算一年历日的起始时刻，是极重要的基本数据。郭守敬在大都运用4丈高的木表，每天中午太阳到正南方时观测影长。然后运用数学方法，推算出从至元十三年冬至到十六年冬至的时刻及这期间的三个夏至的时刻。这中间共利用了九十八组观测数据，反复核较，处理是很谨慎的②。
他还从八百多年前的祖冲之所做的冬至时刻观测开始，选取历史上比较可靠的六次冬至时刻的测定，由此定出了一个回归年数值为365.2425日。此数值与南宋杨忠辅的《统天历》（制成于1199年）中的数值相同，是祖冲之以来最精密的数值。郭守敬还进一步证实了回归年长度逐渐缩小的规律，定为每百年往后减少万分之一日。此数虽较现代天文学测定的数值要大（约为后者的16.3倍），但却优于其前辈杨忠辅（杨忠辅的数值约为现代值的34.5倍）。
2.二十八宿距度和星表测定中国古代为了确定日、月、五星的位置和运动，就在天空黄道、赤道带附近选取了二十八组恒星，作为量度日、月、五星位置的相对标志。这二十八组星称为二十八宿。每组星中又选取一颗星作为标志星，称为距星。这一宿的距星到下一宿距星之间的赤道度数（即这二颗星之间的赤经差），称为这一宿的距度。二十八宿的距度是中国古代天文学中的基本数据之一。从西汉太初改历时的唐都起，到郭守敬为止，中国历史上共进行了六次测定。以郭守敬的测定精确度为最高，其误差的绝对值平均为0°.075或4＇.5。
郭守敬还做过全天星表的测定工作。所谓星表通常是指具有坐标位置的恒星目录。中国最早的星表是分载于唐《开元占经》中的《石氏星表》。此表约共121颗星（今本《开元占经》佚失6星），坐标位置取中国式的赤道坐标系一入宿度和去极度。据研究，此表测定于西汉中期约公元前78年①。其后唐、宋两代也都有过全天性的星表测定。其中以宋仁宗皇祐年间（1051—1053）所测星数为最大，在中国古代283星官（星组）1464星范围内大约测定了将近360颗星②。郭守敬的工作应当汇集在他的《新测二十八舍杂坐诸星入宿去极》一卷及《新测无名诸星》一卷两书中。遗憾的是这两书都已不存。从这留下的二个书名可以推想，前一部书是当时有关中国传统的全部1464颗星的星表，后一部则是超出了中国传统星官范围的其他恒星。令人感兴趣的是，郭守敬是选取的哪些无名星？根据什么原则选的？怎么称呼它们？这些星的选取和阿拉伯的星表是否会有某种关系？诸如此类的重大问题，由于此书一佚，均无法解答。
前一部书虽已佚，但最近在北京图书馆藏有一部明代抄本《天文汇钞》，收了一篇题为《三垣列舍入宿去极集》的文献。其中最重要的部分是以图的形式绘出传统星官中的267官1374星（其余16官89星当是某种遗漏），且在741颗星的边上注出了该星的赤道坐标位置。另有633星未注数据。对这份特殊形式的星表，潘鼐认为是元代郭守敬所测无疑①。其理由：（1）其中列有二十八宿距度数值和黄道十二次宿度数值，均与《元史·历志》所载《授时历经》中的数据相同②。（2）各种度值数据均采用百分制，即1度分为100分。这与郭守敬的方法也相同。
对此，有人提出过不同意见，认为所载的不是郭守敬的数据，而是其后一百年左右的明初人所为。其结论主要来自对741颗星的座标数据所作的数理分析；同时指出所绘的冬至、夏至点和春分、秋分点的位置，也是明初的数值③。虽然他和潘鼐的结论不同，但他也承认该书曾受到郭守敬的深刻影响。
3.四海测验中国古代历法都是以首都作为计算基点。许多天文现象，如日，月交食的时刻、食分，当地的昼、夜时间长度等等，却是因地而异。在唐代，僧一行在改历时就提出应派观测队到全国十三个地点进行天文观测，以便使新历能适应全国的要求。元朝比唐朝疆域辽阔，因而郭守敬奏请元世祖批准派出十四个观测队，到全国二十七处地点观测。这次史称“四海测验”的部分结果在《元史·天文志一》有记载。有南海、衡岳、岳台、和林、铁勒、北海和大都七处，各测出当地的北极出地高度（地理纬度）、夏至日中时八尺高表的影子长度（大都为四十尺高表的影长），以及这一天的昼、夜漏刻数（昼夜时间长度）。其余二十一处地点则只留下一项北极出地高度的数据。据对现今可考的二十处观测地点所测北极出地高度计算，平均误差为0°.35。关于检验夏至日正午表影的数据，以大都、和林、岳台三处可考的地点来说只误差几分（现代单位，1度＝60分），最大也仅13分。其精确度是比较高的①。
4.黄赤交角测定地球的赤道面延伸出去，在天球上的投影也称为赤道，或称天赤道。地球绕日公转的轨道面延伸出去，在天球上的投影称为黄道。黄道和赤道之间有个交角，称为黄赤交角。这是天文学上的基本数据。许多历法计算上的问题都要用到这个数据。郭守敬通过观测太阳一年中去极度的数据，得到冬至去极一百一十五度二十一分七十三秒，夏至去极六十七度四十一分一十三秒。这两个数据相减，差数除以2，即得黄赤交角为二十三度九十分三十秒。化成现代使用的单位，则为23°33＇33″.9。运用现代历书天文学公式可推知，当时的黄赤交角值应为23°31＇58″.0②。郭守敬的误差为1＇35″.9。古代的黄赤交角测定值中虽然有比郭守敬更精密的。例如，北宋史序等人编撰的《仪天历》，其误差只23″.9。金代赵知微的《重修大明历》，误差也仅39″.0。他们都比郭守敬要精密。但郭守敬的观测在当时世界上已是非常先进的了。欧洲要直到三个多世纪以后才有可与郭守敬相比的观测出现。
5.一些历元时刻的测定在现代天文学上，各种天文周期都有自己的起算点。这种起算点称之为有关的历元。当然，在推定、编排一部天文年历或民用历书时，都只能用一种历元为主，而把其他历元都归算到这个指定的历元时间系统中去。在中国古代，这些归算的目标和方法都比较特殊。实际上是推算出一个理想的历元，这个历元是各种天文周期的共同起点。因此，这个理想的历元一定离开现实生活的时代十分遥远。古人称之为上元。随着天文观测的进步，各种天文周期的数值测定得越来越精确，这个上元离开现实也越来越远。例如，金代赵知微的《重修大明历》中的上元，离他的编历年份竟有8863万余年。如此巨大的数字要在历法编算中使用，对古人来说是件极其费力的事。因此，到郭守敬时代，王恂等人就决定断然废除上元。他们改用至元十八年（1281）天正冬至（即至元十八年开始之前的那个冬至时刻，实际上在至元十七年内）为其主要起算点。其他各种天文周期的历元，均推算出与该冬至时刻的差距，称为相关的“应”。由此形成一个天文常数系统。在这个天文常数系统中，《授时历》提出了七应。这些应值的确定首先必须依赖有大量的天文观测，有的还须经过复杂的计算，但郭守敬及其观测班子的工作则是个基础。
这七应是：（1）气应。这个数据的含义是，从作为历元的那个冬至时刻与其一个甲子日夜半之间的时间距离。郭守敬等人历时三年多的对日影长度的观测，共取得九十八组数据。并进而推算出这三年中的冬至及夏至时刻，最后确定至元十八年的天正冬至为己未日六刻正。用现代通行的单位说，那是在1280年12月14.06日。按照现代理论的推算，郭守敬等人测定的这个冬至时刻十分精确。（2）转应。历元时刻与其前面一次月亮过近地点时刻之间的时间距离。从所留数据得知，郭守敬测定的那次月过近地点时刻在1280年11月30.87日。用现代理论检验，其误差为0.15日。这是历代测定中最佳结果之一。（3）闰应。历元与其前一次平朔之间的时间距离。（4）交应。历元与在其前一次的月亮过黄白道降交点时刻之间的时间距离。（5）周应。历元时刻太阳所在的赤道宿度位置与赤道虚宿六度之间的角度距离。这是7个“应”中唯一不是时间量的“应”。但因郭守敬等人把一个圆分成365.2575度，其数值和太阳（实即地球）的一个恒星年（相对任一颗恒星，太阳在天上绕行一周的时间）长度365.2575日完全相同。故周应虽然是个角度的量，但却完全可以当作时间量来运算。郭守敬等测定，在历元时刻太阳在赤道箕宿10度。用现代理论检验，其误差为0.22度。在古代诸历中准确度是比较高的。（6）合应。历元与其前一次五大行星平合时刻之间的时间距离。因为每颗行星的平合时刻各不相同，所以，合应实际上是5个数据。（7）历应。历元与其前一次的五星过近日点时刻之间的时间距离。这实际上也是5个数据。
以上十五个数据中，除水星平合时刻和火星过近日点时刻这两个数据的误差较大外，其他都是中国古代历法史上最精确的，或近于最佳的。
三、《授时历》在《授时历》创作中，郭守敬虽然有专业分工，他负责制器和测验，但与整个创作中的其他部分以及总体工作，并非全然无关。《授时历》的编制是一件规模较大的集体工作。工作中既有专人分工负责，也有重大问题的集体讨论。《元史》作者除了在王恂、郭守敬的列传中记叙了改历之事外，还在许衡、杨恭懿等人的列传中也作了相当篇幅的叙述。这些叙述中都透露出《授时历》编撰工作的集体性。按照当代科学史家钱宝琮的观点，甚至可认为，早在刘秉忠、张文谦、张易等人同学的时代，他们就对历法问题有过许多探讨①。
在估价集体工作的体制下郭守敬的作用时，应注意的是：一方面，郭守敬所分工负责的任务一定会吸收别人的智慧和劳动。例如，关于全天恒星星表的测定就不是哪一个人所能独力完成的。至于在测定七应的工作中，也离不开历法的推算和对数据的处理。另一方面，则应该肯定在整个历法的创新和改革中，也凝结着郭守敬的贡献和智慧。在新历颁行后不久主要骨干王恂等因先后去世或辞归②，唯剩下郭守敬继续工作，一人整理了《授时历》全部文稿。因此郭守敬功不可没。这也就是后人把《授时历》的成就都归于郭守敬的重要原因。《授时历》除了在天文数据上的进步之外，在计算方法方面也有重大的创造和革新。主要特点有：1.废除上元积年这一点前面已述。
2.以万分为日法古代的天文数据都以分数形式来表示。例如，《四分
这两历就称81为日法。后人为区别起见，又称《四分历》的4为岁日法，而《太初历》的81则为朔日法。后世各历也都有自己的朔日法或岁日法。唐代李淳风在《麟德历》中曾发明回归年和朔望月统一的日法，但其用分数表示的方式一直未变。但这种分数方式难以立即比较数值的大小，在历法计算中又需作繁杂的通分运算，很不方便，而且随着天文数据测定的进步，古人实际上已逐渐明白，无法用一个分数来完全准确地表达这个数据的值。因此，从唐代开始就有人企图打破分数表达法的老传统。南宫说于唐中宗神龙元年（705）编的《神龙历》即以百进制为天文数据的基础。曹士于唐德宗建中年间（780—783）编的《符天历》更明确提出以万分为日法。但《神龙历》未获颁行。《符天历》只行于民间，被官方天文学家贬称为小历。到《授时历》中始以宏大的革新精神，断然采用以万分为日法的制度，使天文数据的表达方式走上了简洁合理的道路。
3.发明正确的处理三次差内插法方法自隋代刘焯以来，天文学家使用二次差内插法来计算日、月等各种非均速的天体运动。但实际上唐代天文学家已发现，许多运动用二次差来计算是不够精确的，必须用到三次差，但关于三次差内插公式却一直没有找到，只能用一些近似公式来代替。《授时历》发明了称之为招差法的方法，解决了这个三百多年未能解决的难题。而且，招差法从原理上来说，可以推广到任意高次差的内插法，这在数据处理和计算数学上是个很大的进步。
4.发明弧矢割圆术天文学上有所谓黄道坐标，赤道坐标、白道坐标等等的球面坐标系统。现代天文学家运用球面三角学可以很容易地将一个坐标系统中的数据换算到另一个系统中去。中国古代没有球面三角学，古人是采用近似的代数计算方法来解决问题的。《授时历》采用的弧矢割圆术，将各种球面上的弧段投射到某个平面上，利用传统的勾股公式，求解这些投影线段之间的关系。再利用宋代沈括发明的会圆术公式，由线段反求出弧段长股关系的方法是完全准确的。它们与现今的球面三角学公式在本质上是一致的①。
以上这些计算方法上的成就，主要应当归功于王恂，但是，其他学者也为此付出了劳动。特别由于郭守敬是《授时历》的最后整理定稿者，使这些突出的天文学、数学成就得彰后世，故其功不可没。
水利工程上的成就
郭守敬生平的第二项事业是水利。其中最主要的有二项工程：修复西夏水利和开凿通惠河。
1.修复西夏水利所谓西夏水利，是指西夏国首都兴庆府（今宁夏回族自治区首府银川市）一带黄河两岸的水利设施。
这一带早在秦汉时起就陆续开凿了许多河渠，引黄河水灌溉，由此构成一张水渠网，成为西北地区重要的粮仓。但在元朝开国前，历年征战，严重毁坏了原有水利设施，使此地九万多顷良田荒芜，人民常年处于饥饿之中。郭守敬的有关修复水利工作，主要据齐履谦的记述①。
郭守敬对原有的十二条正渠，六十八条大小支渠“因旧谋新，更立牐堰。役不逾时，而渠皆通利”。整修原有的渠道，使之焕然一新，原有已损毁的牐堰也修补更新。总之，这项工程大抵是因旧整修，即令有新渠开挖、新牐堰的建立，也不会很多。所以全部工程才能“役不逾时”，干了不到一个季度，“渠皆通利”。当然，这也是因为涉及千百万人的生计大事，上、下均望其速成。投入和工效一定都是极高的。此事的成功对郭守敬来说，在于他有组织大型工程的才能，干的是造福人民的大好事，因而人民才会在渠上给他立生祠。
2.通惠河的开挖元世祖把首都定在大都（今北京）。为了供养大都臣民的生活，保证帝王、贵族们的享用，许多物资都要从南方运来，其中粮食每年需要从南方征运数百万斤之巨。在金代，就利用华北平原上的天然水道，与自隋唐以来陆续开挖修建的南方运河相连网，建立了一个水上运输系统，从南方往金朝中都（今北京）运送粮食。由于自然条件的限制，这个系统的终点不是在大都，而是在京东的通州。通州距离金中都和后来的元大都还有好几十里路。这一段路程就只能依靠陆运。而陆路运输的成本很高，并且一到雨季，道路泥泞难行，牲口倒毙，粮车陷在泥中，运输效率极低。因此，自金朝起，人们就力图开凿一条从通州直达京城的运河，以解决运粮问题。
通州地势低于大都。开运河，只能从大都引水流往通州，沿途筑一系列牐坝，使南来的船逐级上驶。这样，就必须在大都城周围寻找水源以保证运河的水量。大都城郊有西北方的高粱河，西南方的凉水河，其水量都很小，不敷运河的用水。大都城北几十里处，有清河和沙河，虽有一定水量，却因地形自然流向东南，成为通向通州的温榆河的上游。大都城西几十里的浑河（今称永定河），水量在当时是相当大的。金朝时曾从京西石景山北面的西麻峪村开了一条运河，经过中都注入通州城东的白河。但因浑河中泥沙极多，运河很快淤积；加之夏、秋洪水季节，浑河水极其汹涌，极易泛滥，对运河两岸造成威胁。所以，开凿了十五年之后又复把运河上游的口子填塞了。
这个使命最终落到了郭守敬的身上。而郭守敬也不是一举成功的。
由于金朝开挖的运河，正流经大都城墙的南面。以下往东到通州的一段完全可以利用，因此所需解决的只是上游的水源。
早在元世祖中统三年（1262）郭守敬初见忽必烈时所提的六项水利工程计划中，第一项提的就是此事。他计划把清河的上源中，从玉泉山涌出后东流，经瓮山（今万寿山）南面的瓮山泊（今昆明湖的前身）再向东的那一支流改道向南，注入高粱河，再进入运河。这项计划曾经实施。但因只是一泉之水，只能用于增加大都城内湖池宫苑的用水量，对航运则无裨益。
三年以后，他从西夏回来，又提出了修运河的第二个方案。这个方案是利用金人所开浑河的口子，只是另在金人运河的上游开一道分水河，引回浑河。当河水暴涨，危及下游时，就开放分水河闸口，解除对大都城的威胁。同时考虑到浑河水携来的泥沙问题，他撤去了运河上的闸坝，以使泥沙自然运走。这种设想固然有其道理，但大都到通州运河段的水位下降梯度，虽比大都以上的运河段梯度较小，却仍然是相当大的，没有闸坝控制，巨大的粮船就无法逆流而上。因此，这个方案在至元十三年（1276）实施完成以后，只对运河两岸的农田灌溉及放送西山砍伐木料的作业有所帮助。
此后郭守敬总结了两个方案失败的教训，并在大都周围仔细地勘测水文和地形起伏情况。只是由于他又被调去修历，才把此事搁下了。
至元二十八年（1291），有人建议利用滦河和浑河溯流而上，作为向上都运粮的渠道。元世祖不能决断。派太史令郭守敬去实地勘查。郭守敬探测到中途，就已发现这些建议不切实际。他乘着报告调查结果的机会，提出了许多新建议。其中第一个就是他已筹划多年的大都运河新方案。
这个方案利用他第一次方案中凿成的把瓮山泊流出的一支清河上源引向南面高粱河的河道。为了进一步扩充水源，又把昌平县神山（今称凤凰山）脚下的白浮泉水引入瓮山泊。此后，河水并不径直南下，而是反向西引到西山脚下，再沿西山往南，沿途拦截所有原来从西山向东流入沙河、清河的泉水，使汇成流量可观的水渠，再经高粱河进入流向通州的运河。因为这些都是清泉水源，泥沙很少，运河下游可以无顾虑地建立船闸，使粮船平稳上驶。
元世祖对这一方案极为重视，下令重设都水监，命郭守敬兼管都水监事，并调动几万军民，于至元二十九年春天动工。开工之日忽必烈命丞相以下官员一律到工地劳动，听郭守敬指挥。此举虽然只是个象征，但却反映了元皇朝对这条运河的重视程度和郭守敬在水利方面的权威。整个工程只用了一年半时间，全长一百六十多华里的运河连同全部闸坝工程就完成了。这条运河被命名为通惠河。而自昌平到瓮山泊的一段又特称白浮堰。从此以后，南来的船舶可直驶到大都城中，作为船舶终点码头的积水潭上登时桅樯如林，热闹非凡。通惠河不但解决了运粮问题，而且促进了南货北销，繁荣了大都城的经济。
通惠河工程从技术上来说最突出的是白浮堰线路的选择。白浮泉的发源地海拔约六十米，高出大都城地势最高的西北角约十米。但因两者之间隔有沙河和清河两条河谷地带，它们的地势都在五十米以下，甚至还不到四十五米。因此，如从白浮泉直线南下，则泉水势必沿河谷东流而下，进不了运河。如果用架渡槽的办法，则也只能引白浮一泉之水，起不了多大作用，却费工甚巨。而郭守敬所选的线路，虽然迂回，却保持了河道较小的水位落差梯度，且可拦截沿途所经的诸多水源，使流入运河中的水能有较大的水量。因为从神山到大都城的直线距离有六十多华里（三十多公里），在这么长的路程上地形有几米的起伏那是很微小的。从这里可以看出，郭守敬的地形测量技术实在是很高超的。当代许多地理学家考察了白浮堰线路之后，对郭守敬的成就无不交口赞誉。
光辉业绩
郭守敬的毕生事业和主要成就虽在天文和水利两个方面，但他却是位多才多艺的科学家，在许多领域都有他的创造性的贡献。
他曾提出，以海平面作为基准，比较大都和汴梁（今河南省开封市）两地地形高下之差，这是地理学上的一个重要概念—海拔的创始。
他在西夏水利工程结束后曾溯黄河之流而上，探寻黄河的发源地。由此他成为以科学考察本身为目的，专程探求黄河河源的先驱者。他的探查结果没有记载流传下来。传世的第一部河源考察成果专著为都实所撰《河源记》，此是至元十七年（1280）都实奉忽必烈之命专程考察河源的纪实。先前郭守敬的考察对都实肯定有相当的影响。
他在简仪中使用了滚柱轴承，以使简仪南端的动赤道环可以灵活地在定赤道环之上运转。西方的类似装置是在二百年后才由意大利科学家达·芬奇发明的。
他所创作的大明殿灯漏是第一架与天文仪器相分离的独立的计时器，在中国钟表发展史上具有重要的意义。
他在景符、仰仪等仪器中反复运用了针孔成象原理。这在中国光学史上也是比较突出的成就。
这样一位有多方面杰出成就的科学家，身后自然会得到后人的赞扬和敬仰。
新中国建立后，人们对他更隆重纪念。1959年开馆的中国历史博物馆，在门厅中陈列了他发明的简仪，元代展品中设立有他的胸像和事迹介绍。八十年代初，在他的家乡建立了郭守敬纪念馆。在北京积水潭上的汇通祠中也陈列有关事迹和开挖通惠河的介绍。1962年，邮电部就发行绘有郭守敬像和简仪的纪念邮票共二枚①。1970年，国际天文学联合会以郭守敬的名字命名月球背面的一座环形山，其位置为134°W，8°N。1977年，中国科学院紫金山天文台把小行星2012号正式命名为郭守敬星。中国天文学会受国际天文学联合会的委托，在八十年代举办过几届有关天文学前沿的世界性讲习班，这些讲习班也是以郭守敬的名字命名的。
①齐履谦：《知太史院事郭公行状》，《元文类》卷五○。
①元好问：《遗山集》卷三三。
①杨桓：《太史院铭》，《元文类》卷十七。
①齐履谦：《知太史院事郭公行状》，《元文类》卷五○。
①参见潘鼐、向英著《郭守敬》第二章，上海人民出版社1980年版。
①陈遵妫：《中国古代天文学简史》，上海人民出版社1955年版。
②薄树人：《试探有关郭守敬仪器的几个悬案》，《自然科学史研究》，1982年第4期。
③原文以“经”字代“径”字。下同。
①薄树人：《试探有关郭守敬仪器的几个悬案》，《自然科学史研究》1982年第4期。
①杨桓：《玲珑仪铭》，《元文类》卷十七。
②李迪：《对郭守敬玲珑仪的初步探讨》，《北京天文台台刊》第11期，1977年7月。
③山田庆儿：《授时历の道》，みすず书房1980年版，第207—209页。
④李约瑟：《中国科学技术史》（中译本），科学出版社1975年版，第4卷，第459—464页。
⑤潘鼐：《现存明复制浑仪源流考》⑥潘鼐：《现存明复制浑仪源流考》。
①何高济译，《利玛窦中国札记》，第4卷第5章，中华书局1983年版，第353页，中译者注②。
②薄树人：《试探有关郭守敬仪器的几个悬案》，第2节“关于玲珑仪”《自然科学史研究》1982年第4期。
①此器在《四库全书》本的齐履谦《知太史院事郭公行状》中称为“灵台水浑莲浑天漏”。显然有误。
①齐履谦：《知太史院事郭公行状》，《元文类》卷五○。
①何高济译：《利玛窦中国札记》，中华书局1983年版。
②关于具体计算方法，参阅潘鼐、向英著《郭守敬》第三章（一），第67—72页。
①孙小淳：《汉代石氏星官研究》，《自然科学史研究》13卷2期，1994年。
②潘鼐：《中国恒星观测史》第3章第3节，学林出版社1989年版。
①潘鼐：《中国恒星观测史》第七章第一节，学林出版社1989年版。
②潘鼐：《中国恒星观测史》第七章第一节，学林出版社1989年版。
③孙小淳《〈三垣列舍入宿去极集〉提要》，《中国科技典籍通汇·天文学卷》，河南教育出版社1995年版。
①潘鼐、向英：《郭守敬》，第三章第（三）节，第79—86页。
②现代历书天文学关于黄赤交角ε值的计算公式是由美国天文学家纽康（SimonNewcomb）于1901年提出的，公式为：ε＝23°27＇08″.26—46″.845T－0″.00591T2＋0″.00181T3式中T是从1900年起算的儒略世纪数（1儒略世纪＝36525日），往过去为负。
①钱宝琮：《授时历法略论》，初刊于《天文学报》四卷二期， 1956年12月。收入中国科学院自然科学史研究所编的《钱宝琮科学史论文选集》，科学出版社1983年版，第352—376页。
②王恂卒于至元十八年。许衡于至元十七年告病辞归，次年卒。杨恭懿至元十八年辞归后即不再返回朝廷。张文谦于至元十九年拜枢密副使，次年病故。张易于至元十九年受他人案件的株连而被处死，等等。
①钱宝琮：《授时历法略论》，文中专有一节讨论弧矢割圆法，见《天文学报》四卷二期，1956年12月；收入《钱宝琮科学史论文选集》，科学出版社1983年版。
①齐履谦：《知太史院事郭公行状》，《元文类》卷五○。
①《中国古代科学家》（第二组共8枚），编号纪92，1962年12月1日发行。郭守敬像为第7枚，简仪为第8枚。
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